Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 10, 10, 14, 37, 10.

n = 5

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 8. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 54,8?

μ = 50σ = 8x = 54,8

P =

3.ProbabilitàMedia

In quanti modi N si può scegliere un comitato di 3 persone da un gruppo di 6? L'ordine non conta.

n = 6k = 3

N =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 5 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,5, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 3 risposte corrette?

n = 5p = 0,5k = 3

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,1446. Trova z con due decimali.

A = 0,1446

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di i punteggi del QI sono distribuiti normalmente con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Trascina la soglia in modo che il 80% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.

μ = 100 puntiσ = 15 punti80%

x = punti

7.Intervalli di confidenzaMedia

Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 40 telefoni, media 127 h, deviazione standard nota 7 h. Modello 2: 60 telefoni, media 140,5 h, deviazione standard nota 16 h. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 127 hσ₁ = 7 hn₂ = 60x̄₂ = 140,5 hσ₂ = 16 h90%

limite superiore = h

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 12. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1,5?

σ = 12E = 1,595%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 16 studenti ha un punteggio medio di 116,4 e una deviazione standard campionaria di 8. Trova la statistica test t per H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 116,4s = 8n = 16

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un test z unilaterale di H₀: μ = 500 contro H₁: μ > 500 viene eseguito con α = 0,01 su un campione di 36; la deviazione standard è nota e vale 3. In realtà la media è 500,75. Trova la potenza 1 − β del test in percentuale.

μ₀ = 500μ = 500,75σ = 3n = 36α = 0,01

1 − β = %

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 6

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (3, 5). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 6(3, 5)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 11,76

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 81/5 = 16,2

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−6,2)² + (−6,2)² + (−2,2)² + 20,8² + (−6,2)² = 552,8

Deviazione standard

s = √(552,8/4) = 11,76

Risposta

s = 11,76

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,7257

Standardizza

z = 0,6

Tavola della normale standard

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Risposta

P = 0,7257

3.Probabilità

Risposta: N = 20

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinazioni

C(6, 3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20

Risposta

N = 20

4.Probabilità

Risposta: P = 0,3125

Formula binomiale

P(X = 3) = 10·0,5³·0,5² = 10·0,125·0,25 = 0,3125

Risposta

P = 0,3125

5.Distribuzione normale

Risposta: z = 1,06

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = 1 − 0,1446 = 0,8554

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,8554 dentro la tabella e leggi z.

z = 1,06

Risposta

z = 1,06

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 112,6 punti

Area a sinistra

Φ(z) = 0,8

z dalla tabella

z ≈ 0,84

Di nuovo nelle unità originali

x = 100 + 0,84·15 = 112,6 punti

Risposta

x = 112,6 punti

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = −9,645 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Stima puntuale

x̄₁ − x̄₂ = 127 − 140,5 = −13,5

Errore standard

SE = √(7²/40 + 16²/60) = 2,343

Margine di errore

E = 1,645·2,343 = 3,855

Intervallo

−13,5 ± 3,855 → [−17,35, −9,645]

Risposta

limite superiore = −9,645 h

L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 246

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Ricava n

n = (1,96·12/1,5)² = 245,9

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 246

Risposta

n = 246

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −1,8

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

Statistica test

t = (116,4 − 120)/2 = −1,8

Risposta

t = −1,8

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: 1 − β = 20,44 %

Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Media campionaria critica

SE = 3/√36 = 0,5

x̄_c = 500 + 2,326·0,5 = 501,2

z sotto la media vera

z = (501,2 − 500,75)/0,5 = 0,826

Potenza

potenza = P(Z > 0,826) = 20,44%

1 − β = 20,44%

Risposta

1 − β = 20,44%

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,9679

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 292/6 = 48,67

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 162

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 387,3

Coefficiente di determinazione

r² = 162²/(70·387,3) = 0,9679

Risposta

r² = 0,9679

Circa il 96,79% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = −3,314

Medie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 102/6 = 17

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

Retta di regressione

b = 152/70 = 2,171

a = 17 − 2,171·7 = 1,8

ŷ = 1,8 + 2,171·x

Valore previsto

ŷ = 1,8 + 2,171·3 = 8,314

Residuo

e = 5 − 8,314 = −3,314

Risposta

e = −3,314

Il punto si trova sotto la retta.

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