Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 31, 11, 28, 39, 27.

n = 5

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 10. Trova il punteggio z z di un voto pari a 48.

μ = 60σ = 10x = 48

z =

3.ProbabilitàMedia

In quanti modi N si può scegliere un comitato di 2 persone da un gruppo di 11? L'ordine non conta.

n = 11k = 2

N =

4.ProbabilitàDifficile

X ha la distribuzione mostrata e Y = 0,5X − 3. Trova la deviazione standard σ_Y di Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 0,5X − 3

σ_Y =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,4843. Trova z con due decimali.

A = 0,4843

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

I diametri D dei fori sono normali con media 25,02 mm e deviazione standard 0,01 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,02 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.

foro: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmalbero: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Intervalli di confidenzaMedia

Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 40 telefoni, media 127,5 h, deviazione standard nota 16 h. Modello 2: 80 telefoni, media 122,5 h, deviazione standard nota 14 h. Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 127,5 hσ₁ = 16 hn₂ = 80x̄₂ = 122,5 hσ₂ = 14 h99%

E = h

8.Intervalli di confidenzaDifficile

Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 8 parcelle, resa media 29 kg, deviazione standard 10 kg. Gruppo di parcelle 2: 6 parcelle, media 27 kg, deviazione standard 2 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 95% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 29s₁ = 10n₂ = 6x̄₂ = 27s₂ = 295%t(12) = 2,179

limite superiore = kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

7 dipendenti svolgono un test di dattilografia prima e dopo un corso di formazione. Per ogni persona si registra la differenza d = dopo − prima (parole al minuto). La differenza media è −8,77 e la deviazione standard delle differenze è 11,6. Trova la statistica test per dati appaiati t per H₀: μ_d = 0.

n = 7d̄ = −8,77s_d = 11,6

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

In una sperimentazione, 20 pazienti su 80 con il trattamento A guariscono, e 30 su 250 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 20n₁ = 80x₂ = 30n₂ = 250

z =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 6,5.

n = 5x = 6,5

ŷ =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 10,21

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 136/5 = 27,2

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 3,8² + (−16,2)² + 0,8² + 11,8² + (−0,2)² = 416,8

Deviazione standard

s = √(416,8/4) = 10,21

Risposta

s = 10,21

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = −1,2

Standardizza

z = (48 − 60)/10 = −1,2

Risposta

z = −1,2

3.Probabilità

Risposta: N = 55

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinazioni

C(11, 2) = (11·10)/(2·1) = 55

Risposta

N = 55

4.Probabilità

Risposta: σ_Y = 0,4183

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Dispersione di X

μ = 1, Var(X) = 0,7, σ_X = 0,8367

Trasformazione lineare

σ_Y = |0,5|·0,8367 = 0,4183

Risposta

σ_Y = 0,4183

La media invece si sposta: E(Y) = 0,5·1 − 3 = −2,5.

5.Distribuzione normale

Risposta: z = 0,65

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = (1 + 0,4843)/2 = 0,7422

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,7422 dentro la tabella e leggi z.

z = 0,65

Risposta

z = 0,65

6.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,8133

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione della differenza

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm

Standardizza

z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89

Probabilità

P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133

Risposta

P = 0,8133

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 7,663 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Stima puntuale

x̄₁ − x̄₂ = 127,5 − 122,5 = 5

Errore standard

SE = √(16²/40 + 14²/80) = 2,975

Margine di errore

E = 2,576·2,975 = 7,663

Risposta

E = 7,663 h

L’intervallo contiene 0, quindi i dati non mostrano una differenza significativa.

8.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 11,12 kg

Deviazione standard combinata

s_p² = (7·10² + 5·2²)/12 = 60

s_p = 7,746

Margine di errore

E = 2,179·7,746·√(1/8 + 1/6) = 9,115

Intervallo

2 ± 9,115 → [−7,115, 11,12]

Risposta

limite superiore = 11,12 kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −2

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Errore standard della differenza media

SE = 11,6/√7 = 4,384

Statistica test

t = −8,77/4,384 = −2

Risposta

t = −2

Con df = 6, il valore critico bilaterale al 5% è 2,447; |t| è minore, quindi H₀ non viene rifiutata.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: z = 2,823

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Proporzioni campionarie

p̂₁ = 20/80 = 0,25

p̂₂ = 30/250 = 0,12

p̂ = 50/330 = 0,1515

Errore standard sotto H₀

SE = √(0,1515·0,8485·(1/80 + 1/250)) = 0,04606

Statistica test

z = (0,25 − 0,12)/0,04606 = 2,823

Risposta

z = 2,823

|z| > 1,96, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9402

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 211/6 = 35,17

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 59,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 228,8

Coefficiente di correlazione

r = 59,5/√(17,5·228,8) = 0,9402

Risposta

r = 0,9402

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: ŷ = 75,95

Medie

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 349/5 = 69,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 41

Retta di regressione

b = 41/10 = 4,1

a = 69,8 − 4,1·5 = 49,3

ŷ = 49,3 + 4,1·x

Previsione

ŷ = 49,3 + 4,1·6,5 = 75,95

Risposta

ŷ = 75,95

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