Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 56, 31, 60, 34, 11, 47.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 15. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 85?

μ = 70σ = 15x = 85

P =

3.ProbabilitàMedia

In quanti modi N si può scegliere un comitato di 4 persone da un gruppo di 12? L'ordine non conta.

n = 12k = 4

N =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 12 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,7, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 5 risposte corrette?

n = 12p = 0,7k = 5

P =

5.Distribuzione normaleMedia

X è normale con media 250 g e deviazione standard 4 g; Y è indipendente e normale con media 500 g e deviazione standard 9 g. Trova la probabilità P che X + Y sia maggiore di 757,9 g. Arrotonda z a due decimali.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 757,9 g

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

I diametri D dei fori sono normali con media 25,04 mm e deviazione standard 0,015 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,015 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.

foro: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmalbero: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Intervalli di confidenzaMedia

La pressione arteriosa di 10 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media −1,9 e deviazione standard 3,1. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 99% per la differenza media.

n = 10d̄ = −1,9s_d = 3,199%t(9) = 3,25

limite inferiore = mmHg

8.Intervalli di confidenzaDifficile

Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 5 parcelle, resa media 41 kg, deviazione standard 6 kg. Gruppo di parcelle 2: 7 parcelle, media 47,5 kg, deviazione standard 4 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 95% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 41s₁ = 6n₂ = 7x̄₂ = 47,5s₂ = 495%t(10) = 2,228

limite superiore = kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 493,8 e una deviazione standard campionaria di 12. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 493,8s = 12n = 36

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

In una sperimentazione, 40 pazienti su 100 con il trattamento A guariscono, e 141 su 300 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 40n₁ = 100x₂ = 141n₂ = 300

z =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 6Σx = 141Σy = 406Σx² = 3471Σy² = 28962Σxy = 10006

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 27,5.

n = 5x = 27,5

ŷ =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 18,24

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 239/6 = 39,83

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 16,17² + (−8,833)² + 20,17² + (−5,833)² + (−28,83)² + 7,167² = 1663

Deviazione standard

s = √(1663/5) = 18,24

Risposta

s = 18,24

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,8413

Standardizza

z = 1

Tavola della normale standard

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Risposta

P = 0,8413

3.Probabilità

Risposta: N = 495

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinazioni

C(12, 4) = (12·11·10·9)/(4·3·2·1) = 495

Risposta

N = 495

4.Probabilità

Risposta: P = 0,02911

Formula binomiale

P(X = 5) = 792·0,7⁵·0,3⁷ = 792·0,1681·0,0002187 = 0,02911

Risposta

P = 0,02911

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,2119

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione della somma

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standardizza

z = (757,9 − 750)/9,849 = 0,8

Coda superiore

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Risposta

P = 0,2119

6.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,9706

Distribuzione della differenza

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02121 mm

Standardizza

z = (0 − 0,04)/0,02121 = −1,89

Probabilità

P = 1 − Φ(−1,89) = 0,9706

Risposta

P = 0,9706

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = −5,086 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valore critico

df = 9, t = 3,25

Margine di errore

E = 3,25·3,1/√10 = 3,186

Intervallo

−1,9 ± 3,186 → [−5,086, 1,286]

Risposta

limite inferiore = −5,086 mmHg

8.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = −0,1089 kg

Deviazione standard combinata

s_p² = (4·6² + 6·4²)/10 = 24

s_p = 4,899

Margine di errore

E = 2,228·4,899·√(1/5 + 1/7) = 6,391

Intervallo

−6,5 ± 6,391 → [−12,89, −0,1089]

Risposta

limite superiore = −0,1089 kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −3,1

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

Statistica test

t = (493,8 − 500)/2 = −3,1

Risposta

t = −3,1

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: z = −1,218

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Proporzioni campionarie

p̂₁ = 40/100 = 0,4

p̂₂ = 141/300 = 0,47

p̂ = 181/400 = 0,4525

Errore standard sotto H₀

SE = √(0,4525·0,5475·(1/100 + 1/300)) = 0,05747

Statistica test

z = (0,4 − 0,47)/0,05747 = −1,218

Risposta

z = −1,218

|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9601

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 10006 − 141·406/6 = 465

S_xx = 3471 − 141²/6 = 157,5

S_yy = 28962 − 406²/6 = 1489

Coefficiente di correlazione

r = 465/√(157,5·1489) = 0,9601

Risposta

r = 0,9601

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: ŷ = 117,8

Medie

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 497/5 = 99,4

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 369

Retta di regressione

b = 369/90 = 4,1

a = 99,4 − 4,1·23 = 5,1

ŷ = 5,1 + 4,1·x

Previsione

ŷ = 5,1 + 4,1·27,5 = 117,8

Risposta

ŷ = 117,8

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