Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 27, 34, 12, 39, 46, 47.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 10. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 45?

μ = 60σ = 10x = 45

P =

3.ProbabilitàMedia

Si lancia un dado equo 7 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 7

P =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 11 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,1, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 11p = 0,1

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,2709. Trova z con due decimali.

A = 0,2709

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Trova il valore x sotto il quale si trova il 5 % dei dati (il 5° percentile).

μ = 178σ = 7P = 5%

x = cm

7.Intervalli di confidenzaMedia

Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 50 telefoni, media 121,5 h, deviazione standard nota 10 h. Modello 2: 40 telefoni, media 110,5 h, deviazione standard nota 9 h. Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 121,5 hσ₁ = 10 hn₂ = 40x̄₂ = 110,5 hσ₂ = 9 h90%

E = h

8.Intervalli di confidenzaDifficile

I diametri di 30 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 11,4 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite inferiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 29, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 16,047 e il 2,5% sopra 45,722.

n = 30s = 11,4 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Si confrontano due metodi didattici. Gruppo 1: 14 studenti, punteggio medio 64, deviazione standard 8,5. Gruppo 2: 12 studenti, punteggio medio 58,6, deviazione standard 8,5. Supponi varianze della popolazione uguali e usa il test t a due campioni con varianza combinata. Trova la statistica test t per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (gruppo 1 meno gruppo 2).

n₁ = 14x̄₁ = 64s₁ = 8,5n₂ = 12x̄₂ = 58,6s₂ = 8,5

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

In una sperimentazione, 75 pazienti su 300 con il trattamento A guariscono, e 62 su 200 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 75n₁ = 300x₂ = 62n₂ = 200

z =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 5Σx = 30Σy = 333Σx² = 220Σy² = 22909Σxy = 2164

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 4,5.

n = 5x = 4,5

ŷ =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 13,2

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 205/6 = 34,17

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−7,167)² + (−0,1667)² + (−22,17)² + 4,833² + 11,83² + 12,83² = 870,8

Deviazione standard

s = √(870,8/5) = 13,2

Risposta

s = 13,2

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,06681

Standardizza

z = −1,5

Tavola della normale standard

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

Risposta

P = 0,06681

3.Probabilità

Risposta: P = 0,7209

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)⁷ = 0,2791

P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Risposta

P = 0,7209

4.Probabilità

Risposta: P = 0,6974

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,9¹¹ = 0,3138

P(X = 1) = 11·0,1·0,9¹⁰ = 0,3835

Sommale

P = 0,3138 + 0,3835 = 0,6974

Risposta

P = 0,6974

5.Distribuzione normale

Risposta: z = 0,61

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = 1 − 0,2709 = 0,7291

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,7291 dentro la tabella e leggi z.

z = 0,61

Risposta

z = 0,61

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 166,5 cm

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

z del percentile

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Ritorno a x

x = 178 + −1,645·7 = 166,49 cm

Risposta

x = 166,49 cm

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 3,3 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Stima puntuale

x̄₁ − x̄₂ = 121,5 − 110,5 = 11

Errore standard

SE = √(10²/50 + 9²/40) = 2,006

Margine di errore

E = 1,645·2,006 = 3,3

Risposta

E = 3,3 h

L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.

8.Intervalli di confidenza

Risposta: σ = 9,079 µm

Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.

Somma dei quadrati

(n − 1)s² = 29·11,4² = 3769

Limiti per σ²

3769/45,722 = 82,43

3769/16,047 = 234,9

Limite per σ

σ = √82,43 = 9,079 µm

Risposta

σ = 9,079 µm

Intervallo al 95% per σ: [9,079, 15,33] µm.

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 1,615

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varianza combinata

s_p² = (13·8,5² + 11·8,5²)/24 = 72,25

s_p = 8,5

Errore standard

SE = 8,5·√(1/14 + 1/12) = 3,344

Statistica test

t = (64 − 58,6)/3,344 = 1,615

Risposta

t = 1,615

Con df = 24, il valore critico bilaterale al 5% è 2,064; |t| è minore, quindi H₀ non viene rifiutata.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: z = −1,474

Proporzioni campionarie

p̂₁ = 75/300 = 0,25

p̂₂ = 62/200 = 0,31

p̂ = 137/500 = 0,274

Errore standard sotto H₀

SE = √(0,274·0,726·(1/300 + 1/200)) = 0,04071

Statistica test

z = (0,25 − 0,31)/0,04071 = −1,474

Risposta

z = −1,474

|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9706

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 2164 − 30·333/5 = 166

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 22909 − 333²/5 = 731,2

Coefficiente di correlazione

r = 166/√(40·731,2) = 0,9706

Risposta

r = 0,9706

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: ŷ = 16,15

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 98/5 = 19,6

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23

Retta di regressione

b = −23/10 = −2,3

a = 19,6 − (−2,3)·3 = 26,5

ŷ = 26,5 − 2,3·x

Previsione

ŷ = 26,5 + (−2,3)·4,5 = 16,15

Risposta

ŷ = 16,15

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1