Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 50, 49, 51, 35, 20, 29, 13.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 8. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 73,2?

μ = 70σ = 8x = 73,2

P =

3.ProbabilitàMedia

In quanti modi N si può scegliere un comitato di 4 persone da un gruppo di 6? L'ordine non conta.

n = 6k = 4

N =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 7 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,7, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 7p = 0,7

P =

5.Distribuzione normaleMedia

X è normale con media 120 mm e deviazione standard 0,3 mm; Y è indipendente e normale con media 80 mm e deviazione standard 0,4 mm. Trova la probabilità P che X + Y sia maggiore di 199,6 mm. Arrotonda z a due decimali.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 199,6 mm

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di i voti di un esame sono distribuiti normalmente con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Trascina la soglia in modo che il 70% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.

μ = 65 puntiσ = 10 punti70%

x = punti

7.Intervalli di confidenzaMedia

La pressione arteriosa di 16 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media 4,6 e deviazione standard 3,6. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95% per la differenza media.

n = 16d̄ = 4,6s_d = 3,695%t(15) = 2,131

limite inferiore = mmHg

8.Intervalli di confidenzaDifficile

Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 5 parcelle, resa media 93,5 kg, deviazione standard 3 kg. Gruppo di parcelle 2: 21 parcelle, media 105 kg, deviazione standard 4 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 93,5s₁ = 3n₂ = 21x̄₂ = 105s₂ = 490%t(24) = 1,711

limite superiore = kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 25 studenti ha un punteggio medio di 76,68 e una deviazione standard campionaria di 12. Trova la statistica test t per H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 76,68s = 12n = 25

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

In una sperimentazione, 138 pazienti su 250 con il trattamento A guariscono, e 40 su 80 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 138n₁ = 250x₂ = 40n₂ = 80

z =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 5

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (3,5, 61). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 61)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 15,39

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 247/7 = 35,29

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 14,71² + 13,71² + 15,71² + (−0,2857)² + (−15,29)² + (−6,286)² + (−22,29)² = 1421

Deviazione standard

s = √(1421/6) = 15,39

Risposta

s = 15,39

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,6554

Standardizza

z = 0,4

Tavola della normale standard

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Risposta

P = 0,6554

3.Probabilità

Risposta: N = 15

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinazioni

C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15

Risposta

N = 15

4.Probabilità

Risposta: P = 0,003791

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,3⁷ = 0,0002187

P(X = 1) = 7·0,7·0,3⁶ = 0,003572

Sommale

P = 0,0002187 + 0,003572 = 0,003791

Risposta

P = 0,003791

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,7881

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione della somma

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standardizza

z = (199,6 − 200)/0,5 = −0,8

Coda superiore

P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881

Risposta

P = 0,7881

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 59,8 punti

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra

Φ(z) = 0,3

z dalla tabella

z ≈ −0,52

Di nuovo nelle unità originali

x = 65 − 0,52·10 = 59,8 punti

Risposta

x = 59,8 punti

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = 2,682 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valore critico

df = 15, t = 2,131

Margine di errore

E = 2,131·3,6/√16 = 1,918

Intervallo

4,6 ± 1,918 → [2,682, 6,518]

Risposta

limite inferiore = 2,682 mmHg

8.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = −8,221 kg

Deviazione standard combinata

s_p² = (4·3² + 20·4²)/24 = 14,83

s_p = 3,851

Margine di errore

E = 1,711·3,851·√(1/5 + 1/21) = 3,279

Intervallo

−11,5 ± 3,279 → [−14,78, −8,221]

Risposta

limite superiore = −8,221 kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 0,7

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4

Statistica test

t = (76,68 − 75)/2,4 = 0,7

Risposta

t = 0,7

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: z = 0,8122

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Proporzioni campionarie

p̂₁ = 138/250 = 0,552

p̂₂ = 40/80 = 0,5

p̂ = 178/330 = 0,5394

Errore standard sotto H₀

SE = √(0,5394·0,4606·(1/250 + 1/80)) = 0,06403

Statistica test

z = (0,552 − 0,5)/0,06403 = 0,8122

Risposta

z = 0,8122

|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,9698

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 223/5 = 44,6

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 375

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1611

Coefficiente di determinazione

r² = 375²/(90·1611) = 0,9698

Risposta

r² = 0,9698

Circa il 96,98% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = 3,55

Medie

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 296/5 = 59,2

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 35

Retta di regressione

b = 35/10 = 3,5

a = 59,2 − 3,5·4 = 45,2

ŷ = 45,2 + 3,5·x

Valore previsto

ŷ = 45,2 + 3,5·3,5 = 57,45

Residuo

e = 61 − 57,45 = 3,55

Risposta

e = 3,55

Il punto si trova sopra la retta.

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