Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 60, 52, 35, 24, 50, 17.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 12. Quale proporzione P dei valori è superiore a 62?

μ = 50σ = 12x = 62

P =

3.ProbabilitàMedia

In quanti modi N si può scegliere un comitato di 3 persone da un gruppo di 10? L'ordine non conta.

n = 10k = 3

N =

4.ProbabilitàDifficile

Giocare a un gioco costa 5 €. Si vincono 15 € con probabilità 0,15 e 250 € con probabilità 0,02; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.

posta = €5€15: p = 0,15€250: p = 0,02

E(G) = €

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,1131. Trova z con due decimali.

A = 0,1131

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Trova il valore x sotto il quale si trova il 97,5 % dei dati (il 97,5° percentile).

μ = 178σ = 7P = 97,5%

x = cm

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 9 elementi ha media 15,5 e deviazione standard s = 3. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.

n = 9x̄ = 15,5s = 390%t(8) = 1,86

limite superiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 37. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 0,5?

σ = 37E = 0,595%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 16 studenti ha un punteggio medio di 52,63 e una deviazione standard campionaria di 5. Trova la statistica test t per H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 52,63s = 5n = 16

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 99 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 0,5? La deviazione standard è 12. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 12E = 0,599%

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 6

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (27,5, 99). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 5(27,5, 99)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 17,05

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 238/6 = 39,67

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 20,33² + 12,33² + (−4,667)² + (−15,67)² + 10,33² + (−22,67)² = 1453

Deviazione standard

s = √(1453/5) = 17,05

Risposta

s = 17,05

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,1587

Standardizza

z = 1

Tavola della normale standard

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Risposta

P = 0,1587

3.Probabilità

Risposta: N = 120

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinazioni

C(10, 3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 120

Risposta

N = 120

4.Probabilità

Risposta: E(G) = 2,25 €

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Esiti netti

G: 10 (p = 0,15), 245 (p = 0,02), −5 (p = 0,83)

Valore atteso

E(G) = 10·0,15 + 245·0,02 − 5·0,83 = 2,25 €

Risposta

E(G) = 2,25 €

Un valore positivo significa che in media guadagni denaro.

5.Distribuzione normale

Risposta: z = 1,21

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = 1 − 0,1131 = 0,8869

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,8869 dentro la tabella e leggi z.

z = 1,21

Risposta

z = 1,21

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 191,7 cm

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

z del percentile

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Ritorno a x

x = 178 + 1,96·7 = 191,72 cm

Risposta

x = 191,72 cm

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 17,36

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 8, t = 1,86

Margine di errore

E = 1,86·3/√9 = 1,86

Intervallo

15,5 ± 1,86 → [13,64, 17,36]

Risposta

limite superiore = 17,36

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 21037

Ricava n

n = (1,96·37/0,5)² = 21037

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 21037

Risposta

n = 21037

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 2,104

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25

Statistica test

t = (52,63 − 50)/1,25 = 2,104

Risposta

t = 2,104

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 3823

Ricava n

n = (2,576·12/0,5)² = 3822

Arrotonda per eccesso

n = 3823

Risposta

n = 3823

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,9647

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 76/6 = 12,67

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −46

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 125,3

Coefficiente di determinazione

r² = −46²/(17,5·125,3) = 0,9647

Risposta

r² = 0,9647

Circa il 96,47% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = 4,3

Medie

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 373/5 = 74,6

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 402

Retta di regressione

b = 402/90 = 4,467

a = 74,6 − 4,467·23 = −28,13

ŷ = −28,13 + 4,467·x

Valore previsto

ŷ = −28,13 + 4,467·27,5 = 94,7

Residuo

e = 99 − 94,7 = 4,3

Risposta

e = 4,3

Il punto si trova sopra la retta.

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