Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 21, 59, 13, 21, 41, 31, 35.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 5. Trova il punteggio z z di un voto pari a 173.

μ = 170σ = 5x = 173

z =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,05, 0,3, 0,25, 0,35

Var(X) =

4.ProbabilitàDifficile

X ha la distribuzione mostrata e Y = −2X + 10. Trova la deviazione standard σ_Y di Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,25, 0,2, 0,35Y = −2X + 10

σ_Y =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Quale frazione è compresa tra 167,5 e 179,75 cm? Dai P come numero decimale.

μ = 178σ = 7x₁ = 167,5x₂ = 179,75

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Trova il valore x sotto il quale si trova il 90 % dei dati (il 90° percentile).

μ = 32σ = 6P = 90%

x = min

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 11 elementi ha media 34 e deviazione standard s = 4. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.

n = 11x̄ = 34s = 490%t(10) = 1,812

limite superiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 14. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1,5?

σ = 14E = 1,590%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 25 studenti ha un punteggio medio di 97,12 e una deviazione standard campionaria di 8. Trova la statistica test t per H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 97,12s = 8n = 25

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

In una sperimentazione, 105 pazienti su 300 con il trattamento A guariscono, e 78 su 200 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 105n₁ = 300x₂ = 78n₂ = 200

z =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 5

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 60?

n = 6ŷ = 60

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 15,39

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 221/7 = 31,57

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−10,57)² + 27,43² + (−18,57)² + (−10,57)² + 9,429² + (−0,5714)² + 3,429² = 1422

Deviazione standard

s = √(1422/6) = 15,39

Risposta

s = 15,39

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = 0,6

Standardizza

z = (173 − 170)/5 = 0,6

Risposta

z = 0,6

3.Probabilità

Risposta: Var(X) = 1,26

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 0·0,05 + 1·0,05 + 2·0,3 + 3·0,25 + 4·0,35 = 2,8

Media dei quadrati

E(X²) = 0·0,05 + 1·0,05 + 4·0,3 + 9·0,25 + 16·0,35 = 9,1

Varianza

Var(X) = 9,1 − 2,8² = 1,26

Risposta

Var(X) = 1,26

4.Probabilità

Risposta: σ_Y = 22,89

Dispersione di X

μ = 27, Var(X) = 131, σ_X = 11,45

Trasformazione lineare

σ_Y = |−2|·11,45 = 22,89

Risposta

σ_Y = 22,89

La media invece si sposta: E(Y) = −2·27 + 10 = −44.

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,5319

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (167,5 − 178)/7 = −1,5

z₂ = (179,75 − 178)/7 = 0,25

Area compresa

P = Φ(0,25) − Φ(−1,5) = 0,5987 − 0,06681 = 0,5319

Risposta

P = 0,5319

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 39,69 min

z del percentile

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Ritorno a x

x = 32 + 1,282·6 = 39,69 min

Risposta

x = 39,69 min

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 36,19

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 10, t = 1,812

Margine di errore

E = 1,812·4/√11 = 2,185

Intervallo

34 ± 2,185 → [31,81, 36,19]

Risposta

limite superiore = 36,19

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 236

Ricava n

n = (1,645·14/1,5)² = 235,7

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 236

Risposta

n = 236

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −1,8

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6

Statistica test

t = (97,12 − 100)/1,6 = −1,8

Risposta

t = −1,8

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: z = −0,9096

Test d’ipotesi: la statistica test = (stima − valore sotto H₀)/(errore standard sotto H₀). Il p-value è la probabilità, supponendo vera H₀, di una statistica almeno tanto estrema quanto quella osservata: l’area in una coda per una H₁ unilaterale, il doppio dell’area della coda per una H₁ bilaterale. Rifiuta H₀ quando p ≤ α.

Proporzioni campionarie

p̂₁ = 105/300 = 0,35

p̂₂ = 78/200 = 0,39

p̂ = 183/500 = 0,366

Errore standard sotto H₀

SE = √(0,366·0,634·(1/300 + 1/200)) = 0,04397

Statistica test

z = (0,35 − 0,39)/0,04397 = −0,9096

Risposta

z = −0,9096

|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,9653

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 94/5 = 18,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 54,8

Coefficiente di determinazione

r² = −23²/(10·54,8) = 0,9653

Risposta

r² = 0,9653

Circa il 96,53% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 8,372

Medie

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 354/6 = 59

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 188

Retta di regressione

b = 188/70 = 2,686

a = 59 − 2,686·8 = 37,51

ŷ = 37,51 + 2,686·x

Risolvi per x

x = (60 − 37,51)/2,686 = 8,372

Risposta

x = 8,372

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