Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 25, 50, 50, 40, 36, 46.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 50. Trova il punteggio z z di un voto pari a 425.

μ = 500σ = 50x = 425

z =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,3, 0,3, 0,05

Var(X) =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 7 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,7, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 4 risposte corrette?

n = 7p = 0,7k = 4

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,9429. Trova z con due decimali.

A = 0,9429

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di le durate delle batterie sono distribuiti normalmente con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trascina la soglia in modo che il 85% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.

μ = 500 hσ = 40 h85%

x = h

7.Intervalli di confidenzaMedia

La pressione arteriosa di 20 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media 7,2 e deviazione standard 4,2. Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 99% per la differenza media.

n = 20d̄ = 7,2s_d = 4,299%t(19) = 2,861

E = mmHg

8.Intervalli di confidenzaDifficile

Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 9 parcelle, resa media 47 kg, deviazione standard 5 kg. Gruppo di parcelle 2: 5 parcelle, media 49,5 kg, deviazione standard 4 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 47s₁ = 5n₂ = 5x̄₂ = 49,5s₂ = 495%t(12) = 2,179

limite inferiore = kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 100 studenti ha un punteggio medio di 101,7 e una deviazione standard campionaria di 8. Trova la statistica test t per H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 101,7s = 8n = 100

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 49 misure ha media 500,4. La deviazione standard della popolazione è 15. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.

x̄ = 500,4σ = 15n = 4990%

U =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 5

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 23?

n = 5ŷ = 23

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 9,683

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 247/6 = 41,17

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−16,17)² + 8,833² + 8,833² + (−1,167)² + (−5,167)² + 4,833² = 468,8

Deviazione standard

s = √(468,8/5) = 9,683

Risposta

s = 9,683

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = −1,5

Standardizza

z = (425 − 500)/50 = −1,5

Risposta

z = −1,5

3.Probabilità

Risposta: Var(X) = 0,8475

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 1·0,35 + 2·0,3 + 3·0,3 + 4·0,05 = 2,05

Media dei quadrati

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,3 + 9·0,3 + 16·0,05 = 5,05

Varianza

Var(X) = 5,05 − 2,05² = 0,8475

Risposta

Var(X) = 0,8475

4.Probabilità

Risposta: P = 0,2269

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomiale

P(X = 4) = 35·0,7⁴·0,3³ = 35·0,2401·0,027 = 0,2269

Risposta

P = 0,2269

5.Distribuzione normale

Risposta: z = −1,58

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = 1 − 0,9429 = 0,0571

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,0571 dentro la tabella e leggi z.

z = −1,58

Risposta

z = −1,58

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 458 h

Area a sinistra

Φ(z) = 0,15

z dalla tabella

z ≈ −1,04

Di nuovo nelle unità originali

x = 500 − 1,04·40 = 458 h

Risposta

x = 458 h

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 2,687 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valore critico

df = 19, t = 2,861

Margine di errore

E = 2,861·4,2/√20 = 2,687

Risposta

E = 2,687 mmHg

8.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = −8,201 kg

Deviazione standard combinata

s_p² = (8·5² + 4·4²)/12 = 22

s_p = 4,69

Margine di errore

E = 2,179·4,69·√(1/9 + 1/5) = 5,701

Intervallo

−2,5 ± 5,701 → [−8,201, 3,201]

Risposta

limite inferiore = −8,201 kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 2,125

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8

Statistica test

t = (101,7 − 100)/0,8 = 2,125

Risposta

t = 2,125

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: U = 503,9

Margine di errore

E = 1,645·15/√49 = 3,525

Limite dell'intervallo

U = 500,4 + 3,525 = 503,9

Risposta

U = 503,9

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9935

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 99/5 = 19,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 340,8

Coefficiente di correlazione

r = 116/√(40·340,8) = 0,9935

Risposta

r = 0,9935

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 4,167

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 122/5 = 24,4

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −12

Retta di regressione

b = −12/10 = −1,2

a = 24,4 − (−1,2)·3 = 28

ŷ = 28 − 1,2·x

Risolvi per x

x = (23 − 28)/(−1,2) = 4,167

Risposta

x = 4,167

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