Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 30, 55, 56, 55, 12, 19.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 15. Quale proporzione P dei valori è superiore a 40?

μ = 70σ = 15x = 40

P =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,2, 0,35, 0,15, 0,2

Var(X) =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 10 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,4, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 10p = 0,4

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che le durate delle batterie abbiano una distribuzione normale con media 500 h e deviazione standard 40 h. Quale frazione è compresa tra 452 e 572 h? Dai P come numero decimale.

μ = 500σ = 40x₁ = 452x₂ = 572

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che le durate delle batterie abbiano una distribuzione normale con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trova il valore x sotto il quale si trova il 20 % dei dati (il 20° percentile).

μ = 500σ = 40P = 20%

x = h

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 20 elementi ha media 85,5 e deviazione standard s = 15. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.

n = 20x̄ = 85,5s = 1590%t(19) = 1,729

limite inferiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 10. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 3?

σ = 10E = 395%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Si afferma che la media di una popolazione sia 50; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 40. Un campione casuale di 100 osservazioni ha media 43,44. Verifica H₀: μ = 50 contro H₁: μ < 50. Trova il p-value p.

μ₀ = 50σ = 40n = 100x̄ = 43,44H₁: μ < μ₀

p =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

In una sperimentazione, 66 pazienti su 120 con il trattamento A guariscono, e 189 su 300 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 66n₁ = 120x₂ = 189n₂ = 300

z =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 5

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 110?

n = 5ŷ = 110

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 20,01

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 227/6 = 37,83

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−7,833)² + 17,17² + 18,17² + 17,17² + (−25,83)² + (−18,83)² = 2003

Deviazione standard

s = √(2003/5) = 20,01

Risposta

s = 20,01

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,9772

Standardizza

z = −2

Tavola della normale standard

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Risposta

P = 0,9772

3.Probabilità

Risposta: Var(X) = 1,528

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 0·0,1 + 1·0,2 + 2·0,35 + 3·0,15 + 4·0,2 = 2,15

Media dei quadrati

E(X²) = 0·0,1 + 1·0,2 + 4·0,35 + 9·0,15 + 16·0,2 = 6,15

Varianza

Var(X) = 6,15 − 2,15² = 1,528

Risposta

Var(X) = 1,528

4.Probabilità

Risposta: P = 0,04636

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,6¹⁰ = 0,006047

P(X = 1) = 10·0,4·0,6⁹ = 0,04031

Sommale

P = 0,006047 + 0,04031 = 0,04636

Risposta

P = 0,04636

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,849

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (452 − 500)/40 = −1,2

z₂ = (572 − 500)/40 = 1,8

Area compresa

P = Φ(1,8) − Φ(−1,2) = 0,9641 − 0,1151 = 0,849

Risposta

P = 0,849

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 466,3 h

z del percentile

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Ritorno a x

x = 500 + −0,8416·40 = 466,34 h

Risposta

x = 466,34 h

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = 79,7

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 19, t = 1,729

Margine di errore

E = 1,729·15/√20 = 5,799

Intervallo

85,5 ± 5,799 → [79,7, 91,3]

Risposta

limite inferiore = 79,7

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 43

Ricava n

n = (1,96·10/3)² = 42,68

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 43

Risposta

n = 43

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: p = 0,0505

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistica test

SE = σ/√n = 40/√100 = 4

z = (43,44 − 50)/4 = −1,64

Area della coda

Φ(1,64) = 0,9495

1 − Φ(1,64) = 0,0505

p-value

p = 0,0505

Risposta

p = 0,0505

p > 0,05, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5%.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: z = −1,517

Proporzioni campionarie

p̂₁ = 66/120 = 0,55

p̂₂ = 189/300 = 0,63

p̂ = 255/420 = 0,6071

Errore standard sotto H₀

SE = √(0,6071·0,3929·(1/120 + 1/300)) = 0,05275

Statistica test

z = (0,55 − 0,63)/0,05275 = −1,517

Risposta

z = −1,517

|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,9914

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 116/5 = 23,2

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 134

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 452,8

Coefficiente di determinazione

r² = 134²/(40·452,8) = 0,9914

Risposta

r² = 0,9914

Circa il 99,14% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 22,03

Medie

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 520/5 = 104

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 234

Retta di regressione

b = 234/40 = 5,85

a = 104 − 5,85·21 = −18,85

ŷ = −18,85 + 5,85·x

Risolvi per x

x = (110 − (−18,85))/5,85 = 22,03

Risposta

x = 22,03

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