Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 55, 55, 49, 54, 14, 15, 58.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 75. Trova il punteggio z z di un voto pari a 425.

μ = 500σ = 75x = 425

z =

3.ProbabilitàMedia

In quanti modi N si può scegliere un comitato di 4 persone da un gruppo di 6? L'ordine non conta.

n = 6k = 4

N =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 5 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,5, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 2 risposte corrette?

n = 5p = 0,5k = 2

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,9668. Trova z con due decimali.

A = 0,9668

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di i pesi dei sacchetti sono distribuiti normalmente con media 250 g e deviazione standard 5 g. Trascina la soglia in modo che il 10% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.

μ = 250 gσ = 5 g10%

x = g

7.Intervalli di confidenzaMedia

Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 80 telefoni, media 125 h, deviazione standard nota 18 h. Modello 2: 80 telefoni, media 111 h, deviazione standard nota 9 h. Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 125 hσ₁ = 18 hn₂ = 80x̄₂ = 111 hσ₂ = 9 h99%

E = h

8.Intervalli di confidenzaDifficile

Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 5 parcelle, resa media 25,5 kg, deviazione standard 4,5 kg. Gruppo di parcelle 2: 11 parcelle, media 36,5 kg, deviazione standard 5 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 25,5s₁ = 4,5n₂ = 11x̄₂ = 36,5s₂ = 599%t(14) = 2,977

limite superiore = kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Si confrontano due metodi didattici. Gruppo 1: 11 studenti, punteggio medio 73, deviazione standard 5,5. Gruppo 2: 20 studenti, punteggio medio 76,3, deviazione standard 4. Supponi varianze della popolazione uguali e usa il test t a due campioni con varianza combinata. Trova la statistica test t per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (gruppo 1 meno gruppo 2).

n₁ = 11x̄₁ = 73s₁ = 5,5n₂ = 20x̄₂ = 76,3s₂ = 4

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

In una sperimentazione, 110 pazienti su 200 con il trattamento A guariscono, e 158 su 250 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 110n₁ = 200x₂ = 158n₂ = 250

z =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 5

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (19, 55). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 5(19, 55)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 19,56

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 300/7 = 42,86

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 12,14² + 12,14² + 6,143² + 11,14² + (−28,86)² + (−27,86)² + 15,14² = 2295

Deviazione standard

s = √(2295/6) = 19,56

Risposta

s = 19,56

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = −1

Standardizza

z = (425 − 500)/75 = −1

Risposta

z = −1

3.Probabilità

Risposta: N = 15

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinazioni

C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15

Risposta

N = 15

4.Probabilità

Risposta: P = 0,3125

Formula binomiale

P(X = 2) = 10·0,5²·0,5³ = 10·0,25·0,125 = 0,3125

Risposta

P = 0,3125

5.Distribuzione normale

Risposta: z = 2,13

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = (1 + 0,9668)/2 = 0,9834

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,9834 dentro la tabella e leggi z.

z = 2,13

Risposta

z = 2,13

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 256,4 g

Area a sinistra

Φ(z) = 0,9

z dalla tabella

z ≈ 1,28

Di nuovo nelle unità originali

x = 250 + 1,28·5 = 256,4 g

Risposta

x = 256,4 g

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 5,796 h

Intervallo per una differenza: stima ± valore critico × errore standard. Per due medie indipendenti con σ nota: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) e z. Con varianze uguali ma ignote: s_p combinata e t con n₁ + n₂ − 2 gradi di libertà. Per dati appaiati, lavora sulle differenze: d̄ ± t·s_d/√n.

Stima puntuale

x̄₁ − x̄₂ = 125 − 111 = 14

Errore standard

SE = √(18²/80 + 9²/80) = 2,25

Margine di errore

E = 2,576·2,25 = 5,796

Risposta

E = 5,796 h

L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.

8.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = −3,193 kg

Deviazione standard combinata

s_p² = (4·4,5² + 10·5²)/14 = 23,64

s_p = 4,862

Margine di errore

E = 2,977·4,862·√(1/5 + 1/11) = 7,807

Intervallo

−11 ± 7,807 → [−18,81, −3,193]

Risposta

limite superiore = −3,193 kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −1,922

Test d’ipotesi: la statistica test = (stima − valore sotto H₀)/(errore standard sotto H₀). Il p-value è la probabilità, supponendo vera H₀, di una statistica almeno tanto estrema quanto quella osservata: l’area in una coda per una H₁ unilaterale, il doppio dell’area della coda per una H₁ bilaterale. Rifiuta H₀ quando p ≤ α.

Varianza combinata

s_p² = (10·5,5² + 19·4²)/29 = 20,91

s_p = 4,573

Errore standard

SE = 4,573·√(1/11 + 1/20) = 1,717

Statistica test

t = (73 − 76,3)/1,717 = −1,922

Risposta

t = −1,922

Con df = 29, il valore critico bilaterale al 5% è 2,045; |t| è minore, quindi H₀ non viene rifiutata.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: z = −1,761

Proporzioni campionarie

p̂₁ = 110/200 = 0,55

p̂₂ = 158/250 = 0,632

p̂ = 268/450 = 0,5956

Errore standard sotto H₀

SE = √(0,5956·0,4044·(1/200 + 1/250)) = 0,04656

Statistica test

z = (0,55 − 0,632)/0,04656 = −1,761

Risposta

z = −1,761

|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,6923

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 276/5 = 55,2

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 41

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 242,8

Coefficiente di determinazione

r² = 41²/(10·242,8) = 0,6923

Risposta

r² = 0,6923

Circa il 69,23% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = 5,2

Medie

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 268/5 = 53,6

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

Retta di regressione

b = 152/40 = 3,8

a = 53,6 − 3,8·20 = −22,4

ŷ = −22,4 + 3,8·x

Valore previsto

ŷ = −22,4 + 3,8·19 = 49,8

Residuo

e = 55 − 49,8 = 5,2

Risposta

e = 5,2

Il punto si trova sopra la retta.

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