Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 41, 11, 60, 50, 27, 36, 41.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 25. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 480?

μ = 500σ = 25x = 480

P =

3.ProbabilitàMedia

Si lancia un dado equo 2 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 2

P =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 9 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,6, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 9p = 0,6

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che le durate delle batterie abbiano una distribuzione normale con media 500 h e deviazione standard 40 h. Quale frazione è compresa tra 480 e 542 h? Dai P come numero decimale.

μ = 500σ = 40x₁ = 480x₂ = 542

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Trova il valore x sotto il quale si trova il 5 % dei dati (il 5° percentile).

μ = 65σ = 10P = 5%

x = punti

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 16 elementi ha media 29 e deviazione standard s = 15,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 95 % per la media.

n = 16x̄ = 29s = 15,595%t(15) = 2,131

E =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

I diametri di 10 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 12 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite superiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 9, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 2,7 e il 2,5% sopra 19,023.

n = 10s = 12 µmχ² = 2,7, 19,023

σ = µm

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Si confrontano due metodi didattici. Gruppo 1: 8 studenti, punteggio medio 37,5, deviazione standard 8. Gruppo 2: 9 studenti, punteggio medio 48,1, deviazione standard 10. Supponi varianze della popolazione uguali e usa il test t a due campioni con varianza combinata. Trova la statistica test t per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (gruppo 1 meno gruppo 2).

n₁ = 8x̄₁ = 37,5s₁ = 8n₂ = 9x̄₂ = 48,1s₂ = 10

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 90 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 1? La deviazione standard è 8. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 8E = 190%

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 5

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (5,5, 13). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 6(5,5, 13)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 15,81

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 266/7 = 38

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 3² + (−27)² + 22² + 12² + (−11)² + (−2)² + 3² = 1500

Deviazione standard

s = √(1500/6) = 15,81

Risposta

s = 15,81

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,2119

Standardizza

z = −0,8

Tavola della normale standard

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Risposta

P = 0,2119

3.Probabilità

Risposta: P = 0,3056

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)² = 0,6944

P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Risposta

P = 0,3056

4.Probabilità

Risposta: P = 0,003801

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,4⁹ = 0,0002621

P(X = 1) = 9·0,6·0,4⁸ = 0,003539

Sommale

P = 0,0002621 + 0,003539 = 0,003801

Risposta

P = 0,003801

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,5446

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (480 − 500)/40 = −0,5

z₂ = (542 − 500)/40 = 1,05

Area compresa

P = Φ(1,05) − Φ(−0,5) = 0,8531 − 0,3085 = 0,5446

Risposta

P = 0,5446

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 48,55 punti

z del percentile

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Ritorno a x

x = 65 + −1,645·10 = 48,55 punti

Risposta

x = 48,55 punti

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 8,258

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Margine di errore

E = 2,131·15,5/√16 = 8,258

Risposta

E = 8,258

8.Intervalli di confidenza

Risposta: σ = 21,91 µm

Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.

Somma dei quadrati

(n − 1)s² = 9·12² = 1296

Limiti per σ²

1296/19,023 = 68,13

1296/2,7 = 480

Limite per σ

σ = √480 = 21,91 µm

Risposta

σ = 21,91 µm

Intervallo al 95% per σ: [8,254, 21,91] µm.

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −2,392

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varianza combinata

s_p² = (7·8² + 8·10²)/15 = 83,2

s_p = 9,121

Errore standard

SE = 9,121·√(1/8 + 1/9) = 4,432

Statistica test

t = (37,5 − 48,1)/4,432 = −2,392

Risposta

t = −2,392

Con df = 15, il valore critico bilaterale al 5% è 2,131; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 174

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Ricava n

n = (1,645·8/1)² = 173,2

Arrotonda per eccesso

n = 174

Risposta

n = 174

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = −0,9574

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 96/5 = 19,2

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 118,8

Coefficiente di correlazione

r = −33/√(10·118,8) = −0,9574

Risposta

r = −0,9574

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = −4,819

Medie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 122/6 = 20,33

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22

Retta di regressione

b = −22/17,5 = −1,257

a = 20,33 − (−1,257)·3,5 = 24,73

ŷ = 24,73 − 1,257·x

Valore previsto

ŷ = 24,73 + (−1,257)·5,5 = 17,82

Residuo

e = 13 − 17,82 = −4,819

Risposta

e = −4,819

Il punto si trova sotto la retta.

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