Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 40, 56, 26, 30, 12.

n = 5

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 5. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 66,25?

μ = 60σ = 5x = 66,25

P =

3.ProbabilitàMedia

Si lancia un dado equo 3 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 3

P =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 5 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,25, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 5p = 0,25

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i punteggi del QI abbiano una distribuzione normale con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Quale frazione è compresa tra 82,75 e 130 punti? Dai P come numero decimale.

μ = 100σ = 15x₁ = 82,75x₂ = 130

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che le durate delle batterie abbiano una distribuzione normale con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trova il valore x sotto il quale si trova il 90 % dei dati (il 90° percentile).

μ = 500σ = 40P = 90%

x = h

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 11 elementi ha media 63 e deviazione standard s = 17. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 90 % per la media.

n = 11x̄ = 63s = 1790%t(10) = 1,812

E =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 12. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1,5?

σ = 12E = 1,595%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 16 studenti ha un punteggio medio di 96,75 e una deviazione standard campionaria di 5. Trova la statistica test t per H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 96,75s = 5n = 16

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

In una sperimentazione, 24 pazienti su 80 con il trattamento A guariscono, e 21 su 100 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 24n₁ = 80x₂ = 21n₂ = 100

z =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 6

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (6, 83). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 6(6, 83)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 16,41

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 164/5 = 32,8

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 7,2² + 23,2² + (−6,8)² + (−2,8)² + (−20,8)² = 1077

Deviazione standard

s = √(1077/4) = 16,41

Risposta

s = 16,41

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,8944

Standardizza

z = 1,25

Tavola della normale standard

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Risposta

P = 0,8944

3.Probabilità

Risposta: P = 0,4213

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Risposta

P = 0,4213

4.Probabilità

Risposta: P = 0,6328

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,75⁵ = 0,2373

P(X = 1) = 5·0,25·0,75⁴ = 0,3955

Sommale

P = 0,2373 + 0,3955 = 0,6328

Risposta

P = 0,6328

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,8522

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (82,75 − 100)/15 = −1,15

z₂ = (130 − 100)/15 = 2

Area compresa

P = Φ(2) − Φ(−1,15) = 0,9772 − 0,1251 = 0,8522

Risposta

P = 0,8522

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 551,3 h

z del percentile

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Ritorno a x

x = 500 + 1,282·40 = 551,26 h

Risposta

x = 551,26 h

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 9,288

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 10, t = 1,812

Margine di errore

E = 1,812·17/√11 = 9,288

Risposta

E = 9,288

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 246

Ricava n

n = (1,96·12/1,5)² = 245,9

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 246

Risposta

n = 246

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −2,6

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25

Statistica test

t = (96,75 − 100)/1,25 = −2,6

Risposta

t = −2,6

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: z = 1,386

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Proporzioni campionarie

p̂₁ = 24/80 = 0,3

p̂₂ = 21/100 = 0,21

p̂ = 45/180 = 0,25

Errore standard sotto H₀

SE = √(0,25·0,75·(1/80 + 1/100)) = 0,06495

Statistica test

z = (0,3 − 0,21)/0,06495 = 1,386

Risposta

z = 1,386

|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,9872

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 151/6 = 25,17

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 247

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 882,8

Coefficiente di determinazione

r² = 247²/(70·882,8) = 0,9872

Risposta

r² = 0,9872

Circa il 98,72% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = 4,852

Medie

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 551/6 = 91,83

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 479

Retta di regressione

b = 479/70 = 6,843

a = 91,83 − 6,843·8 = 37,09

ŷ = 37,09 + 6,843·x

Valore previsto

ŷ = 37,09 + 6,843·6 = 78,15

Residuo

e = 83 − 78,15 = 4,852

Risposta

e = 4,852

Il punto si trova sopra la retta.

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