Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 20, 31, 43, 53, 55, 24.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 20. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 85?

μ = 60σ = 20x = 85

P =

3.ProbabilitàMedia

Si lancia un dado equo 5 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 5

P =

4.ProbabilitàDifficile

Giocare a un gioco costa 10 €. Si vincono 20 € con probabilità 0,15 e 500 € con probabilità 0,01; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.

posta = €10€20: p = 0,15€500: p = 0,01

E(G) = €

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,8159. Trova z con due decimali.

A = 0,8159

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di i voti di un esame sono distribuiti normalmente con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Trascina la soglia in modo che il 70% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.

μ = 65 puntiσ = 10 punti70%

x = punti

7.Intervalli di confidenzaMedia

Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 40 telefoni, media 99,5 h, deviazione standard nota 15 h. Modello 2: 80 telefoni, media 99 h, deviazione standard nota 16 h. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 99,5 hσ₁ = 15 hn₂ = 80x̄₂ = 99 hσ₂ = 16 h95%

limite inferiore = h

8.Intervalli di confidenzaDifficile

Uno studio pilota indica che circa 0,3 dei prodotti sono difettosi. Quanti prodotti n si devono ispezionare perché un intervallo di confidenza al 90% per la proporzione abbia un margine di errore di al massimo 0,02?

p ≈ 0,3E = 0,0290%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

8 dipendenti svolgono un test di dattilografia prima e dopo un corso di formazione. Per ogni persona si registra la differenza d = dopo − prima (parole al minuto). La differenza media è 9,38 e la deviazione standard delle differenze è 10,2. Trova la statistica test per dati appaiati t per H₀: μ_d = 0.

n = 8d̄ = 9,38s_d = 10,2

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

In una sperimentazione, 52 pazienti su 80 con il trattamento A guariscono, e 120 su 200 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 52n₁ = 80x₂ = 120n₂ = 200

z =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 5Σx = 15Σy = 116Σx² = 55Σy² = 2716Σxy = 335

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (5,5, 69). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 5(5,5, 69)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 14,88

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 226/6 = 37,67

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−17,67)² + (−6,667)² + 5,333² + 15,33² + 17,33² + (−13,67)² = 1107

Deviazione standard

s = √(1107/5) = 14,88

Risposta

s = 14,88

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,8944

Standardizza

z = 1,25

Tavola della normale standard

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Risposta

P = 0,8944

3.Probabilità

Risposta: P = 0,5981

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Risposta

P = 0,5981

4.Probabilità

Risposta: E(G) = −2 €

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Esiti netti

G: 10 (p = 0,15), 490 (p = 0,01), −10 (p = 0,84)

Valore atteso

E(G) = 10·0,15 + 490·0,01 − 10·0,84 = −2 €

Risposta

E(G) = −2 €

Un valore negativo significa che in media perdi denaro.

5.Distribuzione normale

Risposta: z = −0,9

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = 1 − 0,8159 = 0,1841

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,1841 dentro la tabella e leggi z.

z = −0,90

Risposta

z = −0,90

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 70,2 punti

Area a sinistra

Φ(z) = 0,7

z dalla tabella

z ≈ 0,52

Di nuovo nelle unità originali

x = 65 + 0,52·10 = 70,2 punti

Risposta

x = 70,2 punti

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = −5,323 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Stima puntuale

x̄₁ − x̄₂ = 99,5 − 99 = 0,5

Errore standard

SE = √(15²/40 + 16²/80) = 2,971

Margine di errore

E = 1,96·2,971 = 5,823

Intervallo

0,5 ± 5,823 → [−5,323, 6,323]

Risposta

limite inferiore = −5,323 h

L’intervallo contiene 0, quindi i dati non mostrano una differenza significativa.

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 1421

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Ricava n

n = 1,645²·0,3·0,7/0,02² = 1421

Arrotonda per eccesso

n = 1421

Risposta

n = 1421

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 2,601

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Errore standard della differenza media

SE = 10,2/√8 = 3,606

Statistica test

t = 9,38/3,606 = 2,601

Risposta

t = 2,601

Con df = 7, il valore critico bilaterale al 5% è 2,365; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: z = 0,7765

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Proporzioni campionarie

p̂₁ = 52/80 = 0,65

p̂₂ = 120/200 = 0,6

p̂ = 172/280 = 0,6143

Errore standard sotto H₀

SE = √(0,6143·0,3857·(1/80 + 1/200)) = 0,06439

Statistica test

z = (0,65 − 0,6)/0,06439 = 0,7765

Risposta

z = 0,7765

|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = −0,8255

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 335 − 15·116/5 = −13

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 2716 − 116²/5 = 24,8

Coefficiente di correlazione

r = −13/√(10·24,8) = −0,8255

Risposta

r = −0,8255

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = 4,6

Medie

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 319/5 = 63,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 12

Retta di regressione

b = 12/10 = 1,2

a = 63,8 − 1,2·5 = 57,8

ŷ = 57,8 + 1,2·x

Valore previsto

ŷ = 57,8 + 1,2·5,5 = 64,4

Residuo

e = 69 − 64,4 = 4,6

Risposta

e = 4,6

Il punto si trova sopra la retta.

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