Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 16, 59, 18, 24, 16, 57, 13.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 8. Trova il punteggio z z di un voto pari a 70.

μ = 60σ = 8x = 70

z =

3.ProbabilitàMedia

Un sacchetto contiene 8 palline rosse e 8 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?

8 / 8

P =

4.ProbabilitàDifficile

Giocare a un gioco costa 5 €. Si vincono 25 € con probabilità 0,2 e 50 € con probabilità 0,01; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.

posta = €5€25: p = 0,2€50: p = 0,01

E(G) = €

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Quale frazione è compresa tra 53,5 e 73 punti? Dai P come numero decimale.

μ = 65σ = 10x₁ = 53,5x₂ = 73

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Trova il valore x sotto il quale si trova il 90 % dei dati (il 90° percentile).

μ = 32σ = 6P = 90%

x = min

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 12 elementi ha media 33 e deviazione standard s = 19. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 95 % per la media.

n = 12x̄ = 33s = 1995%t(11) = 2,201

E =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 28. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 4?

σ = 28E = 490%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 16 studenti ha un punteggio medio di 51,4 e una deviazione standard campionaria di 8. Trova la statistica test t per H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 51,4s = 8n = 16

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 90 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 0,5? La deviazione standard è 4. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 4E = 0,590%

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 6Σx = 42Σy = 111Σx² = 364Σy² = 2579Σxy = 968

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (7, 19). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 6(7, 19)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 20,1

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 203/7 = 29

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−13)² + 30² + (−11)² + (−5)² + (−13)² + 28² + (−16)² = 2424

Deviazione standard

s = √(2424/6) = 20,1

Risposta

s = 20,1

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = 1,25

Standardizza

z = (70 − 60)/8 = 1,25

Risposta

z = 1,25

3.Probabilità

Risposta: P = 0,2333

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Prima e seconda estrazione

P = 8/16 · 7/15 = 56/240 = 0,2333

Risposta

P = 0,2333

4.Probabilità

Risposta: E(G) = 0,5 €

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Esiti netti

G: 20 (p = 0,2), 45 (p = 0,01), −5 (p = 0,79)

Valore atteso

E(G) = 20·0,2 + 45·0,01 − 5·0,79 = 0,5 €

Risposta

E(G) = 0,5 €

Un valore positivo significa che in media guadagni denaro.

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,6631

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (53,5 − 65)/10 = −1,15

z₂ = (73 − 65)/10 = 0,8

Area compresa

P = Φ(0,8) − Φ(−1,15) = 0,7881 − 0,1251 = 0,6631

Risposta

P = 0,6631

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 39,69 min

z del percentile

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Ritorno a x

x = 32 + 1,282·6 = 39,69 min

Risposta

x = 39,69 min

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 12,07

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 11, t = 2,201

Margine di errore

E = 2,201·19/√12 = 12,07

Risposta

E = 12,07

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 133

Ricava n

n = (1,645·28/4)² = 132,6

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 133

Risposta

n = 133

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 0,7

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

Statistica test

t = (51,4 − 50)/2 = 0,7

Risposta

t = 0,7

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 174

Ricava n

n = (1,645·4/0,5)² = 173,2

Arrotonda per eccesso

n = 174

Risposta

n = 174

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9959

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 968 − 42·111/6 = 191

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 2579 − 111²/6 = 525,5

Coefficiente di correlazione

r = 191/√(70·525,5) = 0,9959

Risposta

r = 0,9959

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = 5

Medie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 84/6 = 14

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 122

Retta di regressione

b = 122/70 = 1,743

a = 14 − 1,743·7 = 1,8

ŷ = 1,8 + 1,743·x

Valore previsto

ŷ = 1,8 + 1,743·7 = 14

Residuo

e = 19 − 14 = 5

Risposta

e = 5

Il punto si trova sopra la retta.

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