Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 21, 12, 35, 48, 27, 53.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 8. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 174,8?

μ = 170σ = 8x = 174,8

P =

3.ProbabilitàMedia

Un sacchetto contiene 8 palline rosse e 4 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?

8 / 4

P =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 12 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,2, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 3 risposte corrette?

n = 12p = 0,2k = 3

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,5407. Trova z con due decimali.

A = 0,5407

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di i voti di un esame sono distribuiti normalmente con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Trascina la soglia in modo che il 70% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.

μ = 65 puntiσ = 10 punti70%

x = punti

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un intervallo di confidenza al 90% per una media, basato su 50 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 8,2. Qual è il margine di errore E₂ di un intervallo al 99% basato su 450 osservazioni?

90%n₁ = 50E₁ = 8,299%n₂ = 450

E₂ =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

I diametri di 25 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 9,8 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite superiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 24, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 12,401 e il 2,5% sopra 39,364.

n = 25s = 9,8 µmχ² = 12,401, 39,364

σ = µm

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 16 studenti ha un punteggio medio di 492,2 e una deviazione standard campionaria di 12. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 492,2s = 12n = 16

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un test z unilaterale di H₀: μ = 500 contro H₁: μ < 500 viene eseguito con α = 0.01 su un campione di 64; la deviazione standard è nota e vale 12. In realtà la media è 494.9. Trova la potenza 1 − β del test in percentuale.

μ₀ = 500μ = 494,9σ = 12n = 64α = 0,01

1 − β = %

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 6Σx = 27Σy = 349Σx² = 139Σy² = 20657Σxy = 1647

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 3,5.

n = 5x = 3,5

ŷ =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 15,81

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 196/6 = 32,67

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−11,67)² + (−20,67)² + 2,333² + 15,33² + (−5,667)² + 20,33² = 1249

Deviazione standard

s = √(1249/5) = 15,81

Risposta

s = 15,81

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,7257

Standardizza

z = 0,6

Tavola della normale standard

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Risposta

P = 0,7257

3.Probabilità

Risposta: P = 0,4242

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Prima e seconda estrazione

P = 8/12 · 7/11 = 56/132 = 0,4242

Risposta

P = 0,4242

4.Probabilità

Risposta: P = 0,2362

Formula binomiale

P(X = 3) = 220·0,2³·0,8⁹ = 220·0,008·0,1342 = 0,2362

Risposta

P = 0,2362

5.Distribuzione normale

Risposta: z = 0,74

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = (1 + 0,5407)/2 = 0,7704

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,7704 dentro la tabella e leggi z.

z = 0,74

Risposta

z = 0,74

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 70,2 punti

Area a sinistra

Φ(z) = 0,7

z dalla tabella

z ≈ 0,52

Di nuovo nelle unità originali

x = 65 + 0,52·10 = 70,2 punti

Risposta

x = 70,2 punti

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E₂ = 4,28

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Rapporto dei margini

E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(50/450) = 0,522

Nuovo margine

E₂ = 8,2·0,522 = 4,28

Risposta

E₂ = 4,28

8.Intervalli di confidenza

Risposta: σ = 13,63 µm

Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.

Somma dei quadrati

(n − 1)s² = 24·9,8² = 2305

Limiti per σ²

2305/39,364 = 58,56

2305/12,401 = 185,9

Limite per σ

σ = √185,9 = 13,63 µm

Risposta

σ = 13,63 µm

Intervallo al 95% per σ: [7,652, 13,63] µm.

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −2,6

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

Statistica test

t = (492,2 − 500)/3 = −2,6

Risposta

t = −2,6

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: 1 − β = 85,86 %

Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Media campionaria critica

SE = 12/√64 = 1,5

x̄_c = 500 − 2,326·1,5 = 496,5

z sotto la media vera

z = (496,5 − 494,9)/1,5 = 1,074

Potenza

potenza = P(Z < 1.074) = 85.86%

1 − β = 85,86%

Risposta

1 − β = 85,86%

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9681

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 1647 − 27·349/6 = 76,5

S_xx = 139 − 27²/6 = 17,5

S_yy = 20657 − 349²/6 = 356,8

Coefficiente di correlazione

r = 76,5/√(17,5·356,8) = 0,9681

Risposta

r = 0,9681

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: ŷ = 48,75

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 239/5 = 47,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 19

Retta di regressione

b = 19/10 = 1,9

a = 47,8 − 1,9·3 = 42,1

ŷ = 42,1 + 1,9·x

Previsione

ŷ = 42,1 + 1,9·3,5 = 48,75

Risposta

ŷ = 48,75

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