Statistica descrittiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Deviazione standard campionaria
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valore centrale dei dati ordinati
- Punteggio z
- z = (x − μ)/σ
- Distribuzione normale
- 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Statistica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Probabilità
- Complementare
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regola della somma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Eventi indipendenti
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilità condizionata
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomiale
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribuzione normale
- Punteggio z
- z = (x − μ)/σ
- Sotto x
- P(X < x) = Φ(z)
- Sopra x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tra due valori
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentile
- x = μ + z·σ
Metodo
- Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
- Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
- Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
- Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.
Intervalli di confidenza
- σ nota
- x̄ ± z·σ/√n
- σ incognita
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z critico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Numerosità campionaria
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
- Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
- Trova il valore critico per il livello di confidenza.
- Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
- Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
- Test z per una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t per una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilaterale al 5%
- rifiuta H0 se |z| > 1,96
- Intervallo di confidenza
- x̄ ± z·σ/√n
Metodo
- Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
- Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
- Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
- Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
Regressione lineare e correlazione
- Somme dei quadrati
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendenza
- b = Sxy/Sxx
- Intercetta
- a = ȳ − b·x̄
- Correlazione
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Esercizi
1.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 12, 10, 31, 38, 39, 48.
n = 6
s =
2.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 75. Trova il punteggio z z di un voto pari a 612,5.
μ = 500σ = 75x = 612,5
z =
3.ProbabilitàMedia
In quanti modi N si può scegliere un comitato di 5 persone da un gruppo di 11? L'ordine non conta.
n = 11k = 5
N =
4.ProbabilitàDifficile
Si collaudano 8 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,4, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?
n = 8p = 0,4
P =
5.Distribuzione normaleMedia
Supponi che le durate delle batterie abbiano una distribuzione normale con media 500 h e deviazione standard 40 h. Quale frazione è compresa tra 460 e 548 h? Dai P come numero decimale.
μ = 500σ = 40x1 = 460x2 = 548
P =
6.Distribuzione normaleDifficile
I diametri D dei fori sono normali con media 25,02 mm e deviazione standard 0,01 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,015 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.
foro: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmalbero: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
7.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 6 elementi ha media 78 e deviazione standard s = 6. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 99 % per la media.
n = 6x̄ = 78s = 699%t(5) = 4,032
limite superiore =
8.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 23. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1,5?
σ = 23E = 1,590%
n =
9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
13 dipendenti svolgono un test di dattilografia prima e dopo un corso di formazione. Per ogni persona si registra la differenza d = dopo − prima (parole al minuto). La differenza media è −10,68 e la deviazione standard delle differenze è 11. Trova la statistica test per dati appaiati t per H₀: μd = 0.
n = 13d̄ = −10,68sd = 11
t =
10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 500 contro H₁: μ < 500 viene eseguito con α = 0.01 su un campione di 100; la deviazione standard è nota e vale 5. In realtà la media è 499.15. Trova la potenza 1 − β del test in percentuale.
μ₀ = 500μ = 499,15σ = 5n = 100α = 0,01
1 − β = %
11.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
n = 6Σx = 129Σy = 656Σx² = 2931Σy² = 77848Σxy = 15082
r =
12.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (3, 14). Trova il suo residuo e = y − ŷ.
n = 6(3, 14)
e =
3Soluzioni
1.Statistica descrittiva
Risposta: s = 15,45
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Media
x̄ = 178/6 = 29,67
Scarti al quadrato
Σ(x − x̄)² = (−17,67)² + (−19,67)² + 1,333² + 8,333² + 9,333² + 18,33² = 1193
Deviazione standard
s = √(1193/5) = 15,45
Risposta
s = 15,45
2.Statistica descrittiva
Risposta: z = 1,5
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (612,5 − 500)/75 = 1,5
Risposta
z = 1,5
3.Probabilità
Risposta: N = 462
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinazioni
C(11, 5) = (11·10·9·8·7)/(5·4·3·2·1) = 462
Risposta
N = 462
4.Probabilità
Risposta: P = 0,1064
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e un guasto
P(X = 0) = 0,68 = 0,0168
P(X = 1) = 8·0,4·0,67 = 0,08958
Sommale
P = 0,0168 + 0,08958 = 0,1064
Risposta
P = 0,1064
5.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,7263
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (460 − 500)/40 = −1
z₂ = (548 − 500)/40 = 1,2
Area compresa
P = Φ(1,2) − Φ(−1) = 0,8849 − 0,1587 = 0,7263
Risposta
P = 0,7263
6.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,8665
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione della differenza
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm
Standardizza
z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11
Probabilità
P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665
Risposta
P = 0,8665
7.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 87,88
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 5, t = 4,032
Margine di errore
E = 4,032·6/√6 = 9,876
Intervallo
78 ± 9,876 → [68,12, 87,88]
Risposta
limite superiore = 87,88
8.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 637
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,645·23/1,5)² = 636,2
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 637
Risposta
n = 637
9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −3,501
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Errore standard della differenza media
SE = 11/√13 = 3,051
Statistica test
t = −10,68/3,051 = −3,501
Risposta
t = −3,501
Con df = 12, il valore critico bilaterale al 5% è 2,179; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.
10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: 1 − β = 26,57 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Media campionaria critica
SE = 5/√100 = 0,5
x̄c = 500 − 2,326·0,5 = 498,8
z sotto la media vera
z = (498,8 − 499,15)/0,5 = −0,626
Potenza
potenza = P(Z < −0.626) = 26.57%
1 − β = 26,57%
Risposta
1 − β = 26,57%
11.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9957
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 15082 − 129·656/6 = 978
Sxx = 2931 − 129²/6 = 157,5
Syy = 77848 − 656²/6 = 6125
Coefficiente di correlazione
r = 978/√(157,5·6125) = 0,9957
Risposta
r = 0,9957
12.Regressione lineare e correlazione
Risposta: e = 4,148
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 139/6 = 23,17
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 233
Retta di regressione
b = 233/70 = 3,329
a = 23,17 − 3,329·7 = −0,1333
ŷ = −0,1333 + 3,329·x
Valore previsto
ŷ = −0,1333 + 3,329·3 = 9,852
Residuo
e = 14 − 9,852 = 4,148
Risposta
e = 4,148
Il punto si trova sopra la retta.
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