Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 30, 42, 40, 16, 58, 32.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 15. Trova il punteggio z z di un voto pari a 109.

μ = 100σ = 15x = 109

z =

3.ProbabilitàMedia

Si lancia un dado equo 2 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 2

P =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 6 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,4, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 5 risposte corrette?

n = 6p = 0,4k = 5

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,6729. Trova z con due decimali.

A = 0,6729

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

I diametri D dei fori sono normali con media 25,04 mm e deviazione standard 0,02 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,01 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.

foro: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmalbero: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 9 elementi ha media 21 e deviazione standard s = 1,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 90 % per la media.

n = 9x̄ = 21s = 1,590%t(8) = 1,86

E =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 9. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1?

σ = 9E = 195%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 64 studenti ha un punteggio medio di 501,1 e una deviazione standard campionaria di 5. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 501,1s = 5n = 64

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

In una sperimentazione, 16 pazienti su 80 con il trattamento A guariscono, e 96 su 300 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 16n₁ = 80x₂ = 96n₂ = 300

z =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 5Σx = 30Σy = 101Σx² = 220Σy² = 2413Σxy = 726

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (7, 11). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 5(7, 11)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 14,05

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 218/6 = 36,33

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−6,333)² + 5,667² + 3,667² + (−20,33)² + 21,67² + (−4,333)² = 987,3

Deviazione standard

s = √(987,3/5) = 14,05

Risposta

s = 14,05

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = 0,6

Standardizza

z = (109 − 100)/15 = 0,6

Risposta

z = 0,6

3.Probabilità

Risposta: P = 0,3056

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)² = 0,6944

P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Risposta

P = 0,3056

4.Probabilità

Risposta: P = 0,03686

Formula binomiale

P(X = 5) = 6·0,4⁵·0,6¹ = 6·0,01024·0,6 = 0,03686

Risposta

P = 0,03686

5.Distribuzione normale

Risposta: z = 0,98

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = (1 + 0,6729)/2 = 0,8365

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,8365 dentro la tabella e leggi z.

z = 0,98

Risposta

z = 0,98

6.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,9633

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione della differenza

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02236 mm

Standardizza

z = (0 − 0,04)/0,02236 = −1,79

Probabilità

P = 1 − Φ(−1,79) = 0,9633

Risposta

P = 0,9633

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 0,93

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 8, t = 1,86

Margine di errore

E = 1,86·1,5/√9 = 0,93

Risposta

E = 0,93

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 312

Ricava n

n = (1,96·9/1)² = 311,2

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 312

Risposta

n = 312

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 1,76

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625

Statistica test

t = (501,1 − 500)/0,625 = 1,76

Risposta

t = 1,76

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: z = −2,092

Test d’ipotesi: la statistica test = (stima − valore sotto H₀)/(errore standard sotto H₀). Il p-value è la probabilità, supponendo vera H₀, di una statistica almeno tanto estrema quanto quella osservata: l’area in una coda per una H₁ unilaterale, il doppio dell’area della coda per una H₁ bilaterale. Rifiuta H₀ quando p ≤ α.

Proporzioni campionarie

p̂₁ = 16/80 = 0,2

p̂₂ = 96/300 = 0,32

p̂ = 112/380 = 0,2947

Errore standard sotto H₀

SE = √(0,2947·0,7053·(1/80 + 1/300)) = 0,05737

Statistica test

z = (0,2 − 0,32)/0,05737 = −2,092

Risposta

z = −2,092

|z| > 1,96, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9827

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 726 − 30·101/5 = 120

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 2413 − 101²/5 = 372,8

Coefficiente di correlazione

r = 120/√(40·372,8) = 0,9827

Risposta

r = 0,9827

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = −4,85

Medie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 67/5 = 13,4

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98

Retta di regressione

b = 98/40 = 2,45

a = 13,4 − 2,45·6 = −1,3

ŷ = −1,3 + 2,45·x

Valore previsto

ŷ = −1,3 + 2,45·7 = 15,85

Residuo

e = 11 − 15,85 = −4,85

Risposta

e = −4,85

Il punto si trova sotto la retta.

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