Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 12, 58, 22, 22, 46.

n = 5

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 15. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 82,5?

μ = 60σ = 15x = 82,5

P =

3.ProbabilitàMedia

In quanti modi N si può scegliere un comitato di 2 persone da un gruppo di 13? L'ordine non conta.

n = 13k = 2

N =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 8 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,6, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 3 risposte corrette?

n = 8p = 0,6k = 3

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Quale frazione è compresa tra 65 e 67 punti? Dai P come numero decimale.

μ = 65σ = 10x₁ = 65x₂ = 67

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Il tempo sul giro X del corridore A e il tempo sul giro Y del corridore B sono indipendenti e normali: X ha media 52 s e deviazione standard 4 s, Y ha media 48 s e deviazione standard 3 s. Trova la probabilità P che X sia maggiore di Y. Arrotonda z a due decimali.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un intervallo di confidenza al 90% per una media, basato su 36 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 6,9. Qual è il margine di errore E₂ se lo stesso studio usa invece 72 osservazioni?

90%n₁ = 36E₁ = 6,9n₂ = 72

E₂ =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 21. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2?

σ = 21E = 290%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 203,9 e una deviazione standard campionaria di 8. Trova la statistica test t per H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 203,9s = 8n = 36

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 49 misure ha media 196,1. La deviazione standard della popolazione è 15. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.

x̄ = 196,1σ = 15n = 4990%

L =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 5

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (4, 58). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 6(4, 58)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 19,18

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 160/5 = 32

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−20)² + 26² + (−10)² + (−10)² + 14² = 1472

Deviazione standard

s = √(1472/4) = 19,18

Risposta

s = 19,18

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,9332

Standardizza

z = 1,5

Tavola della normale standard

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Risposta

P = 0,9332

3.Probabilità

Risposta: N = 78

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinazioni

C(13, 2) = (13·12)/(2·1) = 78

Risposta

N = 78

4.Probabilità

Risposta: P = 0,1239

Formula binomiale

P(X = 3) = 56·0,6³·0,4⁵ = 56·0,216·0,01024 = 0,1239

Risposta

P = 0,1239

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,07926

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (65 − 65)/10 = 0

z₂ = (67 − 65)/10 = 0,2

Area compresa

P = Φ(0,2) − Φ(0) = 0,5793 − 0,5 = 0,07926

Risposta

P = 0,07926

6.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,7881

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione della differenza

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standardizza

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Probabilità

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Risposta

P = 0,7881

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E₂ = 4,879

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Rapporto dei margini

E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(36/72) = 0,7071

Nuovo margine

E₂ = 6,9·0,7071 = 4,879

Risposta

E₂ = 4,879

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 299

Ricava n

n = (1,645·21/2)² = 298,3

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 299

Risposta

n = 299

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 2,925

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333

Statistica test

t = (203,9 − 200)/1,333 = 2,925

Risposta

t = 2,925

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: L = 192,6

Margine di errore

E = 1,645·15/√49 = 3,525

Limite dell'intervallo

L = 196,1 − 3,525 = 192,6

Risposta

L = 192,6

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9912

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 381/5 = 76,2

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 393

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1747

Coefficiente di correlazione

r = 393/√(90·1747) = 0,9912

Risposta

r = 0,9912

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = −4,938

Medie

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 445/6 = 74,17

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 393

Retta di regressione

b = 393/70 = 5,614

a = 74,17 − 5,614·6 = 40,48

ŷ = 40,48 + 5,614·x

Valore previsto

ŷ = 40,48 + 5,614·4 = 62,94

Residuo

e = 58 − 62,94 = −4,938

Risposta

e = −4,938

Il punto si trova sotto la retta.

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