Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 50, 45, 47, 30, 17, 47.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 8. Trova il punteggio z z di un voto pari a 74,8.

μ = 70σ = 8x = 74,8

z =

3.ProbabilitàMedia

Si lancia un dado equo 5 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 5

P =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 10 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,1, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 10p = 0,1

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,9664. Trova z con due decimali.

A = 0,9664

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di i pesi dei sacchetti sono distribuiti normalmente con media 250 g e deviazione standard 5 g. Trascina la soglia in modo che il 70% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.

μ = 250 gσ = 5 g70%

x = g

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 11 elementi ha media 84 e deviazione standard s = 11. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 95 % per la media.

n = 11x̄ = 84s = 1195%t(10) = 2,228

E =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 9. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 0,5?

σ = 9E = 0,599%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 25 studenti ha un punteggio medio di 498,9 e una deviazione standard campionaria di 4. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 498,9s = 4n = 25

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 90 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 2,5? La deviazione standard è 4. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 4E = 2,590%

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 5Σx = 120Σy = 508Σx² = 2970Σy² = 53238Σxy = 12570

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 81?

n = 5ŷ = 81

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 13,03

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 236/6 = 39,33

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 10,67² + 5,667² + 7,667² + (−9,333)² + (−22,33)² + 7,667² = 849,3

Deviazione standard

s = √(849,3/5) = 13,03

Risposta

s = 13,03

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = 0,6

Standardizza

z = (74,8 − 70)/8 = 0,6

Risposta

z = 0,6

3.Probabilità

Risposta: P = 0,5981

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Risposta

P = 0,5981

4.Probabilità

Risposta: P = 0,7361

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,9¹⁰ = 0,3487

P(X = 1) = 10·0,1·0,9⁹ = 0,3874

Sommale

P = 0,3487 + 0,3874 = 0,7361

Risposta

P = 0,7361

5.Distribuzione normale

Risposta: z = −1,83

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = 1 − 0,9664 = 0,0336

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,0336 dentro la tabella e leggi z.

z = −1,83

Risposta

z = −1,83

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 252,6 g

Area a sinistra

Φ(z) = 0,7

z dalla tabella

z ≈ 0,52

Di nuovo nelle unità originali

x = 250 + 0,52·5 = 252,6 g

Risposta

x = 252,6 g

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 7,389

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 10, t = 2,228

Margine di errore

E = 2,228·11/√11 = 7,389

Risposta

E = 7,389

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 2150

Ricava n

n = (2,576·9/0,5)² = 2150

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 2150

Risposta

n = 2150

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −1,375

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8

Statistica test

t = (498,9 − 500)/0,8 = −1,375

Risposta

t = −1,375

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 7

Ricava n

n = (1,645·4/2,5)² = 6,927

Arrotonda per eccesso

n = 7

Risposta

n = 7

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9884

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 12570 − 120·508/5 = 378

S_xx = 2970 − 120²/5 = 90

S_yy = 53238 − 508²/5 = 1625

Coefficiente di correlazione

r = 378/√(90·1625) = 0,9884

Risposta

r = 0,9884

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 8,909

Medie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 357/5 = 71,4

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 132

Retta di regressione

b = 132/40 = 3,3

a = 71,4 − 3,3·6 = 51,6

ŷ = 51,6 + 3,3·x

Risolvi per x

x = (81 − 51,6)/3,3 = 8,909

Risposta

x = 8,909

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