Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 17, 19, 19, 35, 45.

n = 5

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 50. Trova il punteggio z z di un voto pari a 475.

μ = 500σ = 50x = 475

z =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la deviazione standard σ di X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,3, 0,1, 0,2, 0,15

σ =

4.ProbabilitàDifficile

Giocare a un gioco costa 1 €. Si vincono 4 € con probabilità 0,1 e 20 € con probabilità 0,02; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.

posta = €1€4: p = 0,1€20: p = 0,02

E(G) = €

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,9554. Trova z con due decimali.

A = 0,9554

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di i pesi dei sacchetti sono distribuiti normalmente con media 250 g e deviazione standard 5 g. Trascina la soglia in modo che il 40% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.

μ = 250 gσ = 5 g40%

x = g

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 25 elementi ha media 12,5 e deviazione standard s = 14,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 90 % per la media.

n = 25x̄ = 12,5s = 14,590%t(24) = 1,711

E =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 30. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 0,5?

σ = 30E = 0,590%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Si afferma che la media di una popolazione sia 250; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 20. Un campione casuale di 64 osservazioni ha media 254,25. Verifica H₀: μ = 250 contro H₁: μ > 250. Trova il p-value p.

μ₀ = 250σ = 20n = 64x̄ = 254,25H₁: μ > μ₀

p =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 99 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 1,5? La deviazione standard è 20. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 20E = 1,599%

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 5

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (9, 32). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 6(9, 32)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 12,41

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 135/5 = 27

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−10)² + (−8)² + (−8)² + 8² + 18² = 616

Deviazione standard

s = √(616/4) = 12,41

Risposta

s = 12,41

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = −0,5

Standardizza

z = (475 − 500)/50 = −0,5

Risposta

z = −0,5

3.Probabilità

Risposta: σ = 1,418

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 0·0,25 + 1·0,3 + 2·0,1 + 3·0,2 + 4·0,15 = 1,7

Media dei quadrati

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,3 + 4·0,1 + 9·0,2 + 16·0,15 = 4,9

Varianza

Var(X) = 4,9 − 1,7² = 2,01

σ = √2,01 = 1,418

Risposta

σ = 1,418

4.Probabilità

Risposta: E(G) = −0,2 €

Esiti netti

G: 3 (p = 0,1), 19 (p = 0,02), −1 (p = 0,88)

Valore atteso

E(G) = 3·0,1 + 19·0,02 − 1·0,88 = −0,2 €

Risposta

E(G) = −0,2 €

Un valore negativo significa che in media perdi denaro.

5.Distribuzione normale

Risposta: z = −1,7

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = 1 − 0,9554 = 0,0446

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,0446 dentro la tabella e leggi z.

z = −1,70

Risposta

z = −1,70

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 251,3 g

Area a sinistra

Φ(z) = 0,6

z dalla tabella

z ≈ 0,25

Di nuovo nelle unità originali

x = 250 + 0,25·5 = 251,3 g

Risposta

x = 251,3 g

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 4,962

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 24, t = 1,711

Margine di errore

E = 1,711·14,5/√25 = 4,962

Risposta

E = 4,962

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 9742

Ricava n

n = (1,645·30/0,5)² = 9742

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 9742

Risposta

n = 9742

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: p = 0,04457

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistica test

SE = σ/√n = 20/√64 = 2,5

z = (254,25 − 250)/2,5 = 1,7

Area della coda

Φ(1,7) = 0,9554

1 − Φ(1,7) = 0,0446

p-value

p = 0,04457

Risposta

p = 0,04457

p ≤ 0,05, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5%.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 1180

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Ricava n

n = (2,576·20/1,5)² = 1180

Arrotonda per eccesso

n = 1180

Risposta

n = 1180

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,9084

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 106/5 = 21,2

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 68,8

Coefficiente di determinazione

r² = −25²/(10·68,8) = 0,9084

Risposta

r² = 0,9084

Circa il 90,84% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = −5,495

Medie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 178/6 = 29,67

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 274

Retta di regressione

b = 274/70 = 3,914

a = 29,67 − 3,914·7 = 2,267

ŷ = 2,267 + 3,914·x

Valore previsto

ŷ = 2,267 + 3,914·9 = 37,5

Residuo

e = 32 − 37,5 = −5,495

Risposta

e = −5,495

Il punto si trova sotto la retta.

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