Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 38, 40, 21, 39, 24, 15.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 8. Trova il punteggio z z di un voto pari a 116.

μ = 100σ = 8x = 116

z =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la deviazione standard σ di X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

σ =

4.ProbabilitàDifficile

Giocare a un gioco costa 10 €. Si vincono 20 € con probabilità 0,2 e 500 € con probabilità 0,01; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.

posta = €10€20: p = 0,2€500: p = 0,01

E(G) = €

5.Distribuzione normaleMedia

X è normale con media 250 g e deviazione standard 4 g; Y è indipendente e normale con media 500 g e deviazione standard 9 g. Trova la probabilità P che X + Y sia maggiore di 762,3 g. Arrotonda z a due decimali.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 762,3 g

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di le durate delle batterie sono distribuiti normalmente con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trascina la soglia in modo che il 10% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.

μ = 500 hσ = 40 h10%

x = h

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 8 elementi ha media 65,5 e deviazione standard s = 11. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95 % per la media.

n = 8x̄ = 65,5s = 1195%t(7) = 2,365

limite inferiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 28. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 0,5?

σ = 28E = 0,590%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Si confrontano due metodi didattici. Gruppo 1: 9 studenti, punteggio medio 100,5, deviazione standard 6,5. Gruppo 2: 8 studenti, punteggio medio 93,6, deviazione standard 6,5. Supponi varianze della popolazione uguali e usa il test t a due campioni con varianza combinata. Trova la statistica test t per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (gruppo 1 meno gruppo 2).

n₁ = 9x̄₁ = 100,5s₁ = 6,5n₂ = 8x̄₂ = 93,6s₂ = 6,5

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un test z unilaterale di H₀: μ = 50 contro H₁: μ < 50 viene eseguito con α = 0.05 su un campione di 100; la deviazione standard è nota e vale 30. In realtà la media è 43.7. Trova la potenza 1 − β del test in percentuale.

μ₀ = 50μ = 43,7σ = 30n = 100α = 0,05

1 − β = %

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 22?

n = 5ŷ = 22

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 10,82

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 177/6 = 29,5

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 8,5² + 10,5² + (−8,5)² + 9,5² + (−5,5)² + (−14,5)² = 585,5

Deviazione standard

s = √(585,5/5) = 10,82

Risposta

s = 10,82

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = 2

Standardizza

z = (116 − 100)/8 = 2

Risposta

z = 2

3.Probabilità

Risposta: σ = 0,8047

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Media dei quadrati

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Varianza

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Risposta

σ = 0,8047

4.Probabilità

Risposta: E(G) = −1 €

Esiti netti

G: 10 (p = 0,2), 490 (p = 0,01), −10 (p = 0,79)

Valore atteso

E(G) = 10·0,2 + 490·0,01 − 10·0,79 = −1 €

Risposta

E(G) = −1 €

Un valore negativo significa che in media perdi denaro.

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,1056

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione della somma

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standardizza

z = (762,3 − 750)/9,849 = 1,25

Coda superiore

P = 1 − Φ(1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056

Risposta

P = 0,1056

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 551 h

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra

Φ(z) = 0,9

z dalla tabella

z ≈ 1,28

Di nuovo nelle unità originali

x = 500 + 1,28·40 = 551 h

Risposta

x = 551 h

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = 56,3

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 7, t = 2,365

Margine di errore

E = 2,365·11/√8 = 9,198

Intervallo

65,5 ± 9,198 → [56,3, 74,7]

Risposta

limite inferiore = 56,3

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 8487

Ricava n

n = (1,645·28/0,5)² = 8486

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 8487

Risposta

n = 8487

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 2,185

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varianza combinata

s_p² = (8·6,5² + 7·6,5²)/15 = 42,25

s_p = 6,5

Errore standard

SE = 6,5·√(1/9 + 1/8) = 3,158

Statistica test

t = (100,5 − 93,6)/3,158 = 2,185

Risposta

t = 2,185

Con df = 15, il valore critico bilaterale al 5% è 2,131; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: 1 − β = 67,54 %

Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Media campionaria critica

SE = 30/√100 = 3

x̄_c = 50 − 1,645·3 = 45,06

z sotto la media vera

z = (45,06 − 43,7)/3 = 0,455

Potenza

potenza = P(Z < 0.455) = 67.54%

1 − β = 67,54%

Risposta

1 − β = 67,54%

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9955

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 160/6 = 26,67

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 268

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1035

Coefficiente di correlazione

r = 268/√(70·1035) = 0,9955

Risposta

r = 0,9955

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 4,143

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 118/5 = 23,6

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −14

Retta di regressione

b = −14/10 = −1,4

a = 23,6 − (−1,4)·3 = 27,8

ŷ = 27,8 − 1,4·x

Risolvi per x

x = (22 − 27,8)/(−1,4) = 4,143

Risposta

x = 4,143

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