Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 56, 28, 45, 23, 30, 48, 35.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 50. Quale proporzione P dei valori è superiore a 575?

μ = 500σ = 50x = 575

P =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la deviazione standard σ di X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,1, 0,25, 0,3

σ =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 7 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,3, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 7p = 0,3

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,0427. Trova z con due decimali.

A = 0,0427

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

La massa X di un prodotto della linea 1 e Y della linea 2 sono indipendenti e normali: X ha media 500 g e deviazione standard 8 g, Y ha media 490 g e deviazione standard 6 g. Trova la probabilità P che X sia maggiore di Y. Arrotonda z a due decimali.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.Intervalli di confidenzaMedia

Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 40 telefoni, media 81 h, deviazione standard nota 9 h. Modello 2: 100 telefoni, media 87 h, deviazione standard nota 6 h. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 81 hσ₁ = 9 hn₂ = 100x̄₂ = 87 hσ₂ = 6 h90%

limite superiore = h

8.Intervalli di confidenzaDifficile

Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 8 parcelle, resa media 17,5 kg, deviazione standard 3 kg. Gruppo di parcelle 2: 6 parcelle, media 18,5 kg, deviazione standard 9,5 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 95% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 17,5s₁ = 3n₂ = 6x̄₂ = 18,5s₂ = 9,595%t(12) = 2,179

limite superiore = kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 49 studenti ha un punteggio medio di 203,4 e una deviazione standard campionaria di 10. Trova la statistica test t per H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 203,4s = 10n = 49

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 25 misure ha media 42,4. La deviazione standard della popolazione è 20. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 95 % per la media.

x̄ = 42,4σ = 20n = 2595%

L =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 5.

n = 5x = 5

ŷ =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 12,05

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 265/7 = 37,86

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 18,14² + (−9,857)² + 7,143² + (−14,86)² + (−7,857)² + 10,14² + (−2,857)² = 870,9

Deviazione standard

s = √(870,9/6) = 12,05

Risposta

s = 12,05

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,06681

Standardizza

z = 1,5

Tavola della normale standard

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Risposta

P = 0,06681

3.Probabilità

Risposta: σ = 12,45

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 10·0,35 + 20·0,1 + 30·0,25 + 40·0,3 = 25

Media dei quadrati

E(X²) = 100·0,35 + 400·0,1 + 900·0,25 + 1600·0,3 = 780

Varianza

Var(X) = 780 − 25² = 155

σ = √155 = 12,45

Risposta

σ = 12,45

4.Probabilità

Risposta: P = 0,3294

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,7⁷ = 0,08235

P(X = 1) = 7·0,3·0,7⁶ = 0,2471

Sommale

P = 0,08235 + 0,2471 = 0,3294

Risposta

P = 0,3294

5.Distribuzione normale

Risposta: z = 1,72

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = 1 − 0,0427 = 0,9573

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,9573 dentro la tabella e leggi z.

z = 1,72

Risposta

z = 1,72

6.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,8413

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione della differenza

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standardizza

z = (0 − 10)/10 = −1

Probabilità

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Risposta

P = 0,8413

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = −3,46 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Stima puntuale

x̄₁ − x̄₂ = 81 − 87 = −6

Errore standard

SE = √(9²/40 + 6²/100) = 1,544

Margine di errore

E = 1,645·1,544 = 2,54

Intervallo

−6 ± 2,54 → [−8,54, −3,46]

Risposta

limite superiore = −3,46 h

L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.

8.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 6,704 kg

Deviazione standard combinata

s_p² = (7·3² + 5·9,5²)/12 = 42,85

s_p = 6,546

Margine di errore

E = 2,179·6,546·√(1/8 + 1/6) = 7,704

Intervallo

−1 ± 7,704 → [−8,704, 6,704]

Risposta

limite superiore = 6,704 kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 2,38

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 10/√49 = 10/7 = 1,429

Statistica test

t = (203,4 − 200)/1,429 = 2,38

Risposta

t = 2,38

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: L = 34,56

Margine di errore

E = 1,96·20/√25 = 7,84

Limite dell'intervallo

L = 42,4 − 7,84 = 34,56

Risposta

L = 34,56

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9954

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 176/6 = 29,33

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 286

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1179

Coefficiente di correlazione

r = 286/√(70·1179) = 0,9954

Risposta

r = 0,9954

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: ŷ = 60,8

Medie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 329/5 = 65,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 200

Retta di regressione

b = 200/40 = 5

a = 65,8 − 5·6 = 35,8

ŷ = 35,8 + 5·x

Previsione

ŷ = 35,8 + 5·5 = 60,8

Risposta

ŷ = 60,8

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