Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 44, 45, 49, 29, 16, 40, 54.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 10. Trova il punteggio z z di un voto pari a 104.

μ = 100σ = 10x = 104

z =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,25, 0,35, 0,05

Var(X) =

4.ProbabilitàDifficile

Giocare a un gioco costa 3 €. Si vincono 15 € con probabilità 0,3 e 60 € con probabilità 0,01; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.

posta = €3€15: p = 0,3€60: p = 0,01

E(G) = €

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Quale frazione è compresa tra 240 e 257,5 g? Dai P come numero decimale.

μ = 250σ = 5x₁ = 240x₂ = 257,5

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Trova il valore x sotto il quale si trova il 99 % dei dati (il 99° percentile).

μ = 65σ = 10P = 99%

x = punti

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 8 elementi ha media 88 e deviazione standard s = 12,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 95 % per la media.

n = 8x̄ = 88s = 12,595%t(7) = 2,365

E =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 13. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 4?

σ = 13E = 495%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Si afferma che la media di una popolazione sia 120; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 10. Un campione casuale di 100 osservazioni ha media 122,22. Verifica H₀: μ = 120 contro H₁: μ ≠ 120. Trova il p-value p.

μ₀ = 120σ = 10n = 100x̄ = 122,22H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 95 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 2? La deviazione standard è 4. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 4E = 295%

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 5Σx = 30Σy = 338Σx² = 220Σy² = 23866Σxy = 2228

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (1,5, 27). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 5(1,5, 27)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 13

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 277/7 = 39,57

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 4,429² + 5,429² + 9,429² + (−10,57)² + (−23,57)² + 0,4286² + 14,43² = 1014

Deviazione standard

s = √(1014/6) = 13

Risposta

s = 13

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = 0,4

Standardizza

z = (104 − 100)/10 = 0,4

Risposta

z = 0,4

3.Probabilità

Risposta: Var(X) = 0,89

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 0·0,35 + 1·0,25 + 2·0,35 + 3·0,05 = 1,1

Media dei quadrati

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,25 + 4·0,35 + 9·0,05 = 2,1

Varianza

Var(X) = 2,1 − 1,1² = 0,89

Risposta

Var(X) = 0,89

4.Probabilità

Risposta: E(G) = 2,1 €

Esiti netti

G: 12 (p = 0,3), 57 (p = 0,01), −3 (p = 0,69)

Valore atteso

E(G) = 12·0,3 + 57·0,01 − 3·0,69 = 2,1 €

Risposta

E(G) = 2,1 €

Un valore positivo significa che in media guadagni denaro.

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,9104

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (240 − 250)/5 = −2

z₂ = (257,5 − 250)/5 = 1,5

Area compresa

P = Φ(1,5) − Φ(−2) = 0,9332 − 0,02275 = 0,9104

Risposta

P = 0,9104

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 88,26 punti

z del percentile

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Ritorno a x

x = 65 + 2,326·10 = 88,26 punti

Risposta

x = 88,26 punti

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 10,45

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 7, t = 2,365

Margine di errore

E = 2,365·12,5/√8 = 10,45

Risposta

E = 10,45

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 41

Ricava n

n = (1,96·13/4)² = 40,58

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 41

Risposta

n = 41

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: p = 0,02642

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistica test

SE = σ/√n = 10/√100 = 1

z = (122,22 − 120)/1 = 2,22

Area della coda

Φ(2,22) = 0,9868

1 − Φ(2,22) = 0,0132

p-value

p = 2·0,0132 = 0,02642

Risposta

p = 0,02642

p ≤ 0,05, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5%.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 16

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Ricava n

n = (1,96·4/2)² = 15,37

Arrotonda per eccesso

n = 16

Risposta

n = 16

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9915

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 2228 − 30·338/5 = 200

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 23866 − 338²/5 = 1017

Coefficiente di correlazione

r = 200/√(40·1017) = 0,9915

Risposta

r = 0,9915

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = 2

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 110/5 = 22

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20

Retta di regressione

b = −20/10 = −2

a = 22 − (−2)·3 = 28

ŷ = 28 − 2·x

Valore previsto

ŷ = 28 + (−2)·1,5 = 25

Residuo

e = 27 − 25 = 2

Risposta

e = 2

Il punto si trova sopra la retta.

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