Statistica descrittiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Deviazione standard campionaria
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valore centrale dei dati ordinati
- Punteggio z
- z = (x − μ)/σ
- Distribuzione normale
- 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Statistica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Probabilità
- Complementare
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regola della somma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Eventi indipendenti
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilità condizionata
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomiale
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribuzione normale
- Punteggio z
- z = (x − μ)/σ
- Sotto x
- P(X < x) = Φ(z)
- Sopra x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tra due valori
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentile
- x = μ + z·σ
Metodo
- Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
- Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
- Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
- Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.
Intervalli di confidenza
- σ nota
- x̄ ± z·σ/√n
- σ incognita
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z critico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Numerosità campionaria
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
- Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
- Trova il valore critico per il livello di confidenza.
- Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
- Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
- Test z per una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t per una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilaterale al 5%
- rifiuta H0 se |z| > 1,96
- Intervallo di confidenza
- x̄ ± z·σ/√n
Metodo
- Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
- Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
- Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
- Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
Regressione lineare e correlazione
- Somme dei quadrati
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendenza
- b = Sxy/Sxx
- Intercetta
- a = ȳ − b·x̄
- Correlazione
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Esercizi
1.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 14, 55, 55, 49, 50.
n = 5
s =
2.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 20. Trova il punteggio z z di un voto pari a 40.
μ = 60σ = 20x = 40
z =
3.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la deviazione standard σ di X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,2, 0,35, 0,3
σ =
4.ProbabilitàDifficile
X ha la distribuzione mostrata e Y = 5X − 3. Trova la deviazione standard σY di Y.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,2, 0,2Y = 5X − 3
σY =
5.Distribuzione normaleMedia
Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,3821. Trova z con due decimali.
A = 0,3821
z =
6.Distribuzione normaleDifficile
I valori di i voti di un esame sono distribuiti normalmente con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Trascina la soglia in modo che il 95% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.
μ = 65 puntiσ = 10 punti95%
x = punti
7.Intervalli di confidenzaMedia
Un intervallo di confidenza al 95% per una media, basato su 100 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 7,2. Qual è il margine di errore E₂ di un intervallo al 99% calcolato dagli stessi dati?
95%n₁ = 100E₁ = 7,299%
E₂ =
8.Intervalli di confidenzaDifficile
Non si sa nulla in anticipo sulla proporzione di prodotti difettosi. Quanti prodotti n si devono ispezionare perché un intervallo di confidenza al 95% per la proporzione abbia un margine di errore di al massimo 0,05?
p = 0,5E = 0,0595%
n =
9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si afferma che la media di una popolazione sia 50; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 12. Un campione casuale di 144 osservazioni ha media 48,2. Verifica H₀: μ = 50 contro H₁: μ < 50. Trova il p-value p.
μ₀ = 50σ = 12n = 144x̄ = 48,2H₁: μ < μ₀
p =
10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
In una sperimentazione, 48 pazienti su 120 con il trattamento A guariscono, e 120 su 250 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 48n₁ = 120x₂ = 120n₂ = 250
z =
11.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.
n = 6
r² =
12.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 60?
n = 6ŷ = 60
x =
3Soluzioni
1.Statistica descrittiva
Risposta: s = 17,33
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Media
x̄ = 223/5 = 44,6
Scarti al quadrato
Σ(x − x̄)² = (−30,6)² + 10,4² + 10,4² + 4,4² + 5,4² = 1201
Deviazione standard
s = √(1201/4) = 17,33
Risposta
s = 17,33
2.Statistica descrittiva
Risposta: z = −1
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (40 − 60)/20 = −1
Risposta
z = −1
3.Probabilità
Risposta: σ = 1,03
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Media
μ = 1·0,15 + 2·0,2 + 3·0,35 + 4·0,3 = 2,8
Media dei quadrati
E(X²) = 1·0,15 + 4·0,2 + 9·0,35 + 16·0,3 = 8,9
Varianza
Var(X) = 8,9 − 2,8² = 1,06
σ = √1,06 = 1,03
Risposta
σ = 1,03
4.Probabilità
Risposta: σY = 11
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Dispersione di X
μ = 2,6, Var(X) = 4,84, σX = 2,2
Trasformazione lineare
σY = |5|·2,2 = 11
Risposta
σY = 11
La media invece si sposta: E(Y) = 5·2,6 − 3 = 10.
5.Distribuzione normale
Risposta: z = 0,3
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra di z
Φ(z) = 1 − 0,3821 = 0,6179
Leggi la tabella z al contrario
Trova 0,6179 dentro la tabella e leggi z.
z = 0,30
Risposta
z = 0,30
6.Distribuzione normale
Risposta: x = 48,6 punti
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra
Φ(z) = 0,05
z dalla tabella
z ≈ −1,64
Di nuovo nelle unità originali
x = 65 − 1,64·10 = 48,6 punti
Risposta
x = 48,6 punti
7.Intervalli di confidenza
Risposta: E₂ = 9,463
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rapporto dei margini
E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(100/100) = 1,314
Nuovo margine
E₂ = 7,2·1,314 = 9,463
Risposta
E₂ = 9,463
8.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 385
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Ricava n
n = 1,96²·0,5·0,5/0,05² = 384,2
Arrotonda per eccesso
n = 385
Risposta
n = 385
9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: p = 0,03593
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistica test
SE = σ/√n = 12/√144 = 1
z = (48,2 − 50)/1 = −1,8
Area della coda
Φ(1,8) = 0,9641
1 − Φ(1,8) = 0,0359
p-value
p = 0,03593
Risposta
p = 0,03593
p ≤ 0,05, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5%.
10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = −1,447
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporzioni campionarie
p̂₁ = 48/120 = 0,4
p̂₂ = 120/250 = 0,48
p̂ = 168/370 = 0,4541
Errore standard sotto H₀
SE = √(0,4541·0,5459·(1/120 + 1/250)) = 0,05529
Statistica test
z = (0,4 − 0,48)/0,05529 = −1,447
Risposta
z = −1,447
|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
11.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r² = 0,979
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 489/6 = 81,5
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 387
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2186
Coefficiente di determinazione
r² = 387²/(70·2186) = 0,979
Risposta
r² = 0,979
Circa il 97,9% della variabilità di y è spiegato dalla retta.
12.Regressione lineare e correlazione
Risposta: x = 3,497
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 382/6 = 63,67
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64
Retta di regressione
b = 64/17,5 = 3,657
a = 63,67 − 3,657·4,5 = 47,21
ŷ = 47,21 + 3,657·x
Risolvi per x
x = (60 − 47,21)/3,657 = 3,497
Risposta
x = 3,497
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