Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 32, 54, 23, 48, 57, 18.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 12. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 48?

μ = 60σ = 12x = 48

P =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la deviazione standard σ di X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,25, 0,3, 0,2, 0,1

σ =

4.ProbabilitàDifficile

Giocare a un gioco costa 3 €. Si vincono 6 € con probabilità 0,1 e 150 € con probabilità 0,02; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.

posta = €3€6: p = 0,1€150: p = 0,02

E(G) = €

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,9868. Trova z con due decimali.

A = 0,9868

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

I diametri D dei fori sono normali con media 25,05 mm e deviazione standard 0,02 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,01 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.

foro: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmalbero: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 15 elementi ha media 34,5 e deviazione standard s = 20. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.

n = 15x̄ = 34,5s = 2090%t(14) = 1,761

limite superiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 32. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2,5?

σ = 32E = 2,595%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 100 studenti ha un punteggio medio di 73,96 e una deviazione standard campionaria di 4. Trova la statistica test t per H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 73,96s = 4n = 100

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un test z unilaterale con α = 0,01 deve rilevare uno spostamento della media di 1,5 unità con una potenza del 90%. La deviazione standard è 6. Trova la dimensione minima del campione n.

α = 0,01potenza = 90%δ = 1,5σ = 6z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 5Σx = 30Σy = 74Σx² = 220Σy² = 1240Σxy = 520

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (5,5, 50). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 6(5,5, 50)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 16,59

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 232/6 = 38,67

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−6,667)² + 15,33² + (−15,67)² + 9,333² + 18,33² + (−20,67)² = 1375

Deviazione standard

s = √(1375/5) = 16,59

Risposta

s = 16,59

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,1587

Standardizza

z = −1

Tavola della normale standard

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Risposta

P = 0,1587

3.Probabilità

Risposta: σ = 1,195

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 1·0,15 + 2·0,25 + 3·0,3 + 4·0,2 + 5·0,1 = 2,85

Media dei quadrati

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,25 + 9·0,3 + 16·0,2 + 25·0,1 = 9,55

Varianza

Var(X) = 9,55 − 2,85² = 1,428

σ = √1,428 = 1,195

Risposta

σ = 1,195

4.Probabilità

Risposta: E(G) = 0,6 €

Esiti netti

G: 3 (p = 0,1), 147 (p = 0,02), −3 (p = 0,88)

Valore atteso

E(G) = 3·0,1 + 147·0,02 − 3·0,88 = 0,6 €

Risposta

E(G) = 0,6 €

Un valore positivo significa che in media guadagni denaro.

5.Distribuzione normale

Risposta: z = −2,22

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = 1 − 0,9868 = 0,0132

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,0132 dentro la tabella e leggi z.

z = −2,22

Risposta

z = −2,22

6.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,9875

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione della differenza

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02236 mm

Standardizza

z = (0 − 0,05)/0,02236 = −2,24

Probabilità

P = 1 − Φ(−2,24) = 0,9875

Risposta

P = 0,9875

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 43,59

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 14, t = 1,761

Margine di errore

E = 1,761·20/√15 = 9,094

Intervallo

34,5 ± 9,094 → [25,41, 43,59]

Risposta

limite superiore = 43,59

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 630

Ricava n

n = (1,96·32/2,5)² = 629,4

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 630

Risposta

n = 630

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −2,6

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4

Statistica test

t = (73,96 − 75)/0,4 = −2,6

Risposta

t = −2,6

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 209

Dimensione del campione per un test: per rilevare uno spostamento reale δ con potenza 1 − β in un test z unilaterale al livello α, l’errore standard deve soddisfare δ = (z_α + z_β)·σ/√n, quindi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrotondato per eccesso.

Ricava n

n = ((2,326 + 1,282)·6/1,5)² = 208,3

Arrotonda per eccesso

n = 209

Risposta

n = 209

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9986

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 520 − 30·74/5 = 76

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 1240 − 74²/5 = 144,8

Coefficiente di correlazione

r = 76/√(40·144,8) = 0,9986

Risposta

r = 0,9986

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = −3,548

Medie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 251/6 = 41,83

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 102,5

Retta di regressione

b = 102,5/17,5 = 5,857

a = 41,83 − 5,857·3,5 = 21,33

ŷ = 21,33 + 5,857·x

Valore previsto

ŷ = 21,33 + 5,857·5,5 = 53,55

Residuo

e = 50 − 53,55 = −3,548

Risposta

e = −3,548

Il punto si trova sotto la retta.

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