Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 60, 50, 32, 53, 28, 38, 36.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 15. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 42?

μ = 60σ = 15x = 42

P =

3.ProbabilitàMedia

In quanti modi N si può scegliere un comitato di 4 persone da un gruppo di 6? L'ordine non conta.

n = 6k = 4

N =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 12 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,5, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 3 risposte corrette?

n = 12p = 0,5k = 3

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che le durate delle batterie abbiano una distribuzione normale con media 500 h e deviazione standard 40 h. Quale frazione è compresa tra 482 e 574 h? Dai P come numero decimale.

μ = 500σ = 40x₁ = 482x₂ = 574

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di i punteggi del QI sono distribuiti normalmente con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Trascina la soglia in modo che il 10% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.

μ = 100 puntiσ = 15 punti10%

x = punti

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 25 elementi ha media 18,5 e deviazione standard s = 14. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 99 % per la media.

n = 25x̄ = 18,5s = 1499%t(24) = 2,797

E =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 11. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1?

σ = 11E = 195%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 25 studenti ha un punteggio medio di 497,2 e una deviazione standard campionaria di 10. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 497,2s = 10n = 25

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 25 misure ha media 197,2. La deviazione standard della popolazione è 5. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 95 % per la media.

x̄ = 197,2σ = 5n = 2595%

L =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 5Σx = 35Σy = 368Σx² = 285Σy² = 28378Σxy = 2802

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (7, 20). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 5(7, 20)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 11,94

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 297/7 = 42,43

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 17,57² + 7,571² + (−10,43)² + 10,57² + (−14,43)² + (−4,429)² + (−6,429)² = 855,7

Deviazione standard

s = √(855,7/6) = 11,94

Risposta

s = 11,94

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,1151

Standardizza

z = −1,2

Tavola della normale standard

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Risposta

P = 0,1151

3.Probabilità

Risposta: N = 15

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinazioni

C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15

Risposta

N = 15

4.Probabilità

Risposta: P = 0,05371

Formula binomiale

P(X = 3) = 220·0,5³·0,5⁹ = 220·0,125·0,001953 = 0,05371

Risposta

P = 0,05371

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,6415

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (482 − 500)/40 = −0,45

z₂ = (574 − 500)/40 = 1,85

Area compresa

P = Φ(1,85) − Φ(−0,45) = 0,9678 − 0,3264 = 0,6415

Risposta

P = 0,6415

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 80,8 punti

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra

Φ(z) = 0,1

z dalla tabella

z ≈ −1,28

Di nuovo nelle unità originali

x = 100 − 1,28·15 = 80,8 punti

Risposta

x = 80,8 punti

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 7,832

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 24, t = 2,797

Margine di errore

E = 2,797·14/√25 = 7,832

Risposta

E = 7,832

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 465

Ricava n

n = (1,96·11/1)² = 464,8

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 465

Risposta

n = 465

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −1,4

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

Statistica test

t = (497,2 − 500)/2 = −1,4

Risposta

t = −1,4

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: L = 195,2

Margine di errore

E = 1,96·5/√25 = 1,96

Limite dell'intervallo

L = 197,2 − 1,96 = 195,2

Risposta

L = 195,2

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9937

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 2802 − 35·368/5 = 226

S_xx = 285 − 35²/5 = 40

S_yy = 28378 − 368²/5 = 1293

Coefficiente di correlazione

r = 226/√(40·1293) = 0,9937

Risposta

r = 0,9937

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = 3,8

Medie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 69/5 = 13,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96

Retta di regressione

b = 96/40 = 2,4

a = 13,8 − 2,4·6 = −0,6

ŷ = −0,6 + 2,4·x

Valore previsto

ŷ = −0,6 + 2,4·7 = 16,2

Residuo

e = 20 − 16,2 = 3,8

Risposta

e = 3,8

Il punto si trova sopra la retta.

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