Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 46, 53, 11, 50, 49, 37.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 15. Quale proporzione P dei valori è superiore a 35?

μ = 50σ = 15x = 35

P =

3.ProbabilitàMedia

In quanti modi N si può scegliere un comitato di 4 persone da un gruppo di 11? L'ordine non conta.

n = 11k = 4

N =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 12 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,7, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 4 risposte corrette?

n = 12p = 0,7k = 4

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che le durate delle batterie abbiano una distribuzione normale con media 500 h e deviazione standard 40 h. Quale frazione è compresa tra 438 e 580 h? Dai P come numero decimale.

μ = 500σ = 40x₁ = 438x₂ = 580

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di i punteggi del QI sono distribuiti normalmente con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Trascina la soglia in modo che il 20% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.

μ = 100 puntiσ = 15 punti20%

x = punti

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 12 elementi ha media 114,5 e deviazione standard s = 3,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.

n = 12x̄ = 114,5s = 3,590%t(11) = 1,796

limite superiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 8 parcelle, resa media 22,5 kg, deviazione standard 3 kg. Gruppo di parcelle 2: 23 parcelle, media 20 kg, deviazione standard 4,5 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 22,5s₁ = 3n₂ = 23x̄₂ = 20s₂ = 4,590%t(29) = 1,699

limite inferiore = kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 16 studenti ha un punteggio medio di 48,88 e una deviazione standard campionaria di 5. Trova la statistica test t per H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 48,88s = 5n = 16

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 81 misure ha media 99,1. La deviazione standard della popolazione è 8. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.

x̄ = 99,1σ = 8n = 8199%

U =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 5

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 4,5.

n = 5x = 4,5

ŷ =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 15,68

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 246/6 = 41

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 5² + 12² + (−30)² + 9² + 8² + (−4)² = 1230

Deviazione standard

s = √(1230/5) = 15,68

Risposta

s = 15,68

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,8413

Standardizza

z = −1

Tavola della normale standard

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Risposta

P = 0,8413

3.Probabilità

Risposta: N = 330

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinazioni

C(11, 4) = (11·10·9·8)/(4·3·2·1) = 330

Risposta

N = 330

4.Probabilità

Risposta: P = 0,007798

Formula binomiale

P(X = 4) = 495·0,7⁴·0,3⁸ = 495·0,2401·6,561 × 10⁻⁵ = 0,007798

Risposta

P = 0,007798

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,9167

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (438 − 500)/40 = −1,55

z₂ = (580 − 500)/40 = 2

Area compresa

P = Φ(2) − Φ(−1,55) = 0,9772 − 0,06057 = 0,9167

Risposta

P = 0,9167

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 87,4 punti

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra

Φ(z) = 0,2

z dalla tabella

z ≈ −0,84

Di nuovo nelle unità originali

x = 100 − 0,84·15 = 87,4 punti

Risposta

x = 87,4 punti

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 116,3

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 11, t = 1,796

Margine di errore

E = 1,796·3,5/√12 = 1,815

Intervallo

114,5 ± 1,815 → [112,7, 116,3]

Risposta

limite superiore = 116,3

8.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = −0,4202 kg

Intervallo per una differenza: stima ± valore critico × errore standard. Per due medie indipendenti con σ nota: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) e z. Con varianze uguali ma ignote: s_p combinata e t con n₁ + n₂ − 2 gradi di libertà. Per dati appaiati, lavora sulle differenze: d̄ ± t·s_d/√n.

Deviazione standard combinata

s_p² = (7·3² + 22·4,5²)/29 = 17,53

s_p = 4,187

Margine di errore

E = 1,699·4,187·√(1/8 + 1/23) = 2,92

Intervallo

2,5 ± 2,92 → [−0,4202, 5,42]

Risposta

limite inferiore = −0,4202 kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −0,896

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25

Statistica test

t = (48,88 − 50)/1,25 = −0,896

Risposta

t = −0,896

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: U = 101,4

Margine di errore

E = 2,576·8/√81 = 2,29

Limite dell'intervallo

U = 99,1 + 2,29 = 101,4

Risposta

U = 101,4

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = −0,9364

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 102/5 = 20,4

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 55,2

Coefficiente di correlazione

r = −22/√(10·55,2) = −0,9364

Risposta

r = −0,9364

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: ŷ = 15,5

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 100/5 = 20

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30

Retta di regressione

b = −30/10 = −3

a = 20 − (−3)·3 = 29

ŷ = 29 − 3·x

Previsione

ŷ = 29 + (−3)·4,5 = 15,5

Risposta

ŷ = 15,5

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