Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 40, 36, 48, 37, 50, 19, 25.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 12. Quale proporzione P dei valori è superiore a 77,2?

μ = 70σ = 12x = 77,2

P =

3.ProbabilitàMedia

Si lancia un dado equo 7 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 7

P =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 5 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,3, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 5p = 0,3

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Quale frazione è compresa tra 244 e 255,25 g? Dai P come numero decimale.

μ = 250σ = 5x₁ = 244x₂ = 255,25

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di le durate delle batterie sono distribuiti normalmente con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trascina la soglia in modo che il 30% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.

μ = 500 hσ = 40 h30%

x = h

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un intervallo di confidenza al 99% per una media, basato su 64 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 8. Qual è il margine di errore E₂ se lo stesso studio usa invece 256 osservazioni?

99%n₁ = 64E₁ = 8n₂ = 256

E₂ =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 12 parcelle, resa media 83,5 kg, deviazione standard 1 kg. Gruppo di parcelle 2: 10 parcelle, media 75,5 kg, deviazione standard 7,5 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 12x̄₁ = 83,5s₁ = 1n₂ = 10x̄₂ = 75,5s₂ = 7,595%t(20) = 2,086

limite inferiore = kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 64 studenti ha un punteggio medio di 112,3 e una deviazione standard campionaria di 20. Trova la statistica test t per H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 112,3s = 20n = 64

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 36 misure ha media 74,3. La deviazione standard della popolazione è 15. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.

x̄ = 74,3σ = 15n = 3690%

L =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (20, 115). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 5(20, 115)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 11,3

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 255/7 = 36,43

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 3,571² + (−0,4286)² + 11,57² + 0,5714² + 13,57² + (−17,43)² + (−11,43)² = 765,7

Deviazione standard

s = √(765,7/6) = 11,3

Risposta

s = 11,3

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,2743

Standardizza

z = 0,6

Tavola della normale standard

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Risposta

P = 0,2743

3.Probabilità

Risposta: P = 0,7209

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)⁷ = 0,2791

P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Risposta

P = 0,7209

4.Probabilità

Risposta: P = 0,5282

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,7⁵ = 0,1681

P(X = 1) = 5·0,3·0,7⁴ = 0,3601

Sommale

P = 0,1681 + 0,3601 = 0,5282

Risposta

P = 0,5282

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,7381

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (244 − 250)/5 = −1,2

z₂ = (255,25 − 250)/5 = 1,05

Area compresa

P = Φ(1,05) − Φ(−1,2) = 0,8531 − 0,1151 = 0,7381

Risposta

P = 0,7381

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 521 h

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra

Φ(z) = 0,7

z dalla tabella

z ≈ 0,52

Di nuovo nelle unità originali

x = 500 + 0,52·40 = 521 h

Risposta

x = 521 h

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E₂ = 4

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Rapporto dei margini

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(64/256) = 0,5

Nuovo margine

E₂ = 8·0,5 = 4

Risposta

E₂ = 4

8.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = 3,458 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Deviazione standard combinata

s_p² = (11·1² + 9·7,5²)/20 = 25,86

s_p = 5,086

Margine di errore

E = 2,086·5,086·√(1/12 + 1/10) = 4,542

Intervallo

8 ± 4,542 → [3,458, 12,54]

Risposta

limite inferiore = 3,458 kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −3,08

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 20/√64 = 20/8 = 2,5

Statistica test

t = (112,3 − 120)/2,5 = −3,08

Risposta

t = −3,08

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: L = 70,19

Margine di errore

E = 1,645·15/√36 = 4,112

Limite dell'intervallo

L = 74,3 − 4,112 = 70,19

Risposta

L = 70,19

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = −0,9954

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 139/6 = 23,17

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 76,83

Coefficiente di correlazione

r = −36,5/√(17,5·76,83) = −0,9954

Risposta

r = −0,9954

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = 5,5

Medie

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 572/5 = 114,4

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 196

Retta di regressione

b = 196/40 = 4,9

a = 114,4 − 4,9·21 = 11,5

ŷ = 11,5 + 4,9·x

Valore previsto

ŷ = 11,5 + 4,9·20 = 109,5

Residuo

e = 115 − 109,5 = 5,5

Risposta

e = 5,5

Il punto si trova sopra la retta.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1