Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 33, 17, 38, 45, 46.

n = 5

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 20. Quale proporzione P dei valori è superiore a 112?

μ = 100σ = 20x = 112

P =

3.ProbabilitàMedia

In quanti modi N si può scegliere un comitato di 3 persone da un gruppo di 6? L'ordine non conta.

n = 6k = 3

N =

4.ProbabilitàDifficile

X ha la distribuzione mostrata e Y = 0,5X + 4. Trova la deviazione standard σ_Y di Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,25, 0,05, 0,3, 0,25Y = 0,5X + 4

σ_Y =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Quale frazione è compresa tra 29,3 e 43,1 min? Dai P come numero decimale.

μ = 32σ = 6x₁ = 29,3x₂ = 43,1

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Il tempo sul giro X del corridore A e il tempo sul giro Y del corridore B sono indipendenti e normali: X ha media 52 s e deviazione standard 4 s, Y ha media 48 s e deviazione standard 3 s. Trova la probabilità P che X sia maggiore di Y. Arrotonda z a due decimali.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.Intervalli di confidenzaMedia

Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 40 telefoni, media 95,5 h, deviazione standard nota 4 h. Modello 2: 30 telefoni, media 101,5 h, deviazione standard nota 11 h. Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 95% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 95,5 hσ₁ = 4 hn₂ = 30x̄₂ = 101,5 hσ₂ = 11 h95%

E = h

8.Intervalli di confidenzaDifficile

I diametri di 11 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 5,5 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite superiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 10, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 3,247 e il 2,5% sopra 20,483.

n = 11s = 5,5 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 100 studenti ha un punteggio medio di 104,3 e una deviazione standard campionaria di 15. Trova la statistica test t per H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 104,3s = 15n = 100

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 81 misure ha media 96,8. La deviazione standard della popolazione è 15. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.

x̄ = 96,8σ = 15n = 8199%

L =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 5

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (6, 71). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 6(6, 71)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 11,78

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 179/5 = 35,8

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−2,8)² + (−18,8)² + 2,2² + 9,2² + 10,2² = 554,8

Deviazione standard

s = √(554,8/4) = 11,78

Risposta

s = 11,78

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,2743

Standardizza

z = 0,6

Tavola della normale standard

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Risposta

P = 0,2743

3.Probabilità

Risposta: N = 20

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinazioni

C(6, 3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20

Risposta

N = 20

4.Probabilità

Risposta: σ_Y = 0,7224

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Dispersione di X

μ = 2,25, Var(X) = 2,088, σ_X = 1,445

Trasformazione lineare

σ_Y = |0,5|·1,445 = 0,7224

Risposta

σ_Y = 0,7224

La media invece si sposta: E(Y) = 0,5·2,25 + 4 = 5,125.

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,6415

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (29,3 − 32)/6 = −0,45

z₂ = (43,1 − 32)/6 = 1,85

Area compresa

P = Φ(1,85) − Φ(−0,45) = 0,9678 − 0,3264 = 0,6415

Risposta

P = 0,6415

6.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,7881

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione della differenza

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standardizza

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Probabilità

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Risposta

P = 0,7881

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 4,127 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Stima puntuale

x̄₁ − x̄₂ = 95,5 − 101,5 = −6

Errore standard

SE = √(4²/40 + 11²/30) = 2,106

Margine di errore

E = 1,96·2,106 = 4,127

Risposta

E = 4,127 h

L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.

8.Intervalli di confidenza

Risposta: σ = 9,652 µm

Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.

Somma dei quadrati

(n − 1)s² = 10·5,5² = 302,5

Limiti per σ²

302,5/20,483 = 14,77

302,5/3,247 = 93,16

Limite per σ

σ = √93,16 = 9,652 µm

Risposta

σ = 9,652 µm

Intervallo al 95% per σ: [3,843, 9,652] µm.

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 2,867

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5

Statistica test

t = (104,3 − 100)/1,5 = 2,867

Risposta

t = 2,867

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: L = 92,51

Margine di errore

E = 2,576·15/√81 = 4,293

Limite dell'intervallo

L = 96,8 − 4,293 = 92,51

Risposta

L = 92,51

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,9899

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 368/5 = 73,6

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 390

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1707

Coefficiente di determinazione

r² = 390²/(90·1707) = 0,9899

Risposta

r² = 0,9899

Circa il 98,99% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = −2,167

Medie

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 439/6 = 73,17

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 317

Retta di regressione

b = 317/70 = 4,529

a = 73,17 − 4,529·6 = 46

ŷ = 46 + 4,529·x

Valore previsto

ŷ = 46 + 4,529·6 = 73,17

Residuo

e = 71 − 73,17 = −2,167

Risposta

e = −2,167

Il punto si trova sotto la retta.

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