Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 47, 58, 18, 38, 46.

n = 5

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 20. Quale proporzione P dei valori è superiore a 50?

μ = 60σ = 20x = 50

P =

3.ProbabilitàMedia

Un sacchetto contiene 4 palline rosse e 9 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?

4 / 9

P =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 7 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,4, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 7p = 0,4

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i punteggi del QI abbiano una distribuzione normale con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Quale frazione è compresa tra 100,75 e 130,75 punti? Dai P come numero decimale.

μ = 100σ = 15x₁ = 100,75x₂ = 130,75

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che i punteggi del QI abbiano una distribuzione normale con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Trova il valore x sotto il quale si trova il 20 % dei dati (il 20° percentile).

μ = 100σ = 15P = 20%

x = punti

7.Intervalli di confidenzaMedia

La pressione arteriosa di 16 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media 0,6 e deviazione standard 1,8. Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 95% per la differenza media.

n = 16d̄ = 0,6s_d = 1,895%t(15) = 2,131

E = mmHg

8.Intervalli di confidenzaDifficile

Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 8 parcelle, resa media 28,5 kg, deviazione standard 9,5 kg. Gruppo di parcelle 2: 14 parcelle, media 19 kg, deviazione standard 2 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 28,5s₁ = 9,5n₂ = 14x̄₂ = 19s₂ = 299%t(20) = 2,845

limite inferiore = kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 25 studenti ha un punteggio medio di 70,04 e una deviazione standard campionaria di 8. Trova la statistica test t per H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 70,04s = 8n = 25

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un test z unilaterale con α = 0,05 deve rilevare uno spostamento della media di 2 unità con una potenza del 95%. La deviazione standard è 8. Trova la dimensione minima del campione n.

α = 0,05potenza = 95%δ = 2σ = 8z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 5

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 1,5.

n = 5x = 1,5

ŷ =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 14,89

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 207/5 = 41,4

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 5,6² + 16,6² + (−23,4)² + (−3,4)² + 4,6² = 887,2

Deviazione standard

s = √(887,2/4) = 14,89

Risposta

s = 14,89

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,6915

Standardizza

z = −0,5

Tavola della normale standard

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Risposta

P = 0,6915

3.Probabilità

Risposta: P = 0,07692

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Prima e seconda estrazione

P = 4/13 · 3/12 = 12/156 = 0,07692

Risposta

P = 0,07692

4.Probabilità

Risposta: P = 0,1586

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,6⁷ = 0,02799

P(X = 1) = 7·0,4·0,6⁶ = 0,1306

Sommale

P = 0,02799 + 0,1306 = 0,1586

Risposta

P = 0,1586

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,4599

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (100,75 − 100)/15 = 0,05

z₂ = (130,75 − 100)/15 = 2,05

Area compresa

P = Φ(2,05) − Φ(0,05) = 0,9798 − 0,5199 = 0,4599

Risposta

P = 0,4599

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 87,38 punti

z del percentile

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Ritorno a x

x = 100 + −0,8416·15 = 87,38 punti

Risposta

x = 87,38 punti

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 0,9589 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valore critico

df = 15, t = 2,131

Margine di errore

E = 2,131·1,8/√16 = 0,9589

Risposta

E = 0,9589 mmHg

8.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = 2,127 kg

Deviazione standard combinata

s_p² = (7·9,5² + 13·2²)/20 = 34,19

s_p = 5,847

Margine di errore

E = 2,845·5,847·√(1/8 + 1/14) = 7,373

Intervallo

9,5 ± 7,373 → [2,127, 16,87]

Risposta

limite inferiore = 2,127 kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −3,1

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6

Statistica test

t = (70,04 − 75)/1,6 = −3,1

Risposta

t = −3,1

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 174

Dimensione del campione per un test: per rilevare uno spostamento reale δ con potenza 1 − β in un test z unilaterale al livello α, l’errore standard deve soddisfare δ = (z_α + z_β)·σ/√n, quindi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrotondato per eccesso.

Ricava n

n = ((1,645 + 1,645)·8/2)² = 173,2

Arrotonda per eccesso

n = 174

Risposta

n = 174

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = −0,9399

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 107/5 = 21,4

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 65,2

Coefficiente di correlazione

r = −24/√(10·65,2) = −0,9399

Risposta

r = −0,9399

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: ŷ = 29,5

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 194/5 = 38,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 62

Retta di regressione

b = 62/10 = 6,2

a = 38,8 − 6,2·3 = 20,2

ŷ = 20,2 + 6,2·x

Previsione

ŷ = 20,2 + 6,2·1,5 = 29,5

Risposta

ŷ = 29,5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1