Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 39, 53, 55, 19, 22, 49, 13.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 20. Quale proporzione P dei valori è superiore a 110?

μ = 70σ = 20x = 110

P =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,25, 0,3, 0,35

Var(X) =

4.ProbabilitàDifficile

Giocare a un gioco costa 10 €. Si vincono 20 € con probabilità 0,3 e 100 € con probabilità 0,05; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.

posta = €10€20: p = 0,3€100: p = 0,05

E(G) = €

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Quale frazione è compresa tra 53,5 e 80 punti? Dai P come numero decimale.

μ = 65σ = 10x₁ = 53,5x₂ = 80

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Trova il valore x sotto il quale si trova il 95 % dei dati (il 95° percentile).

μ = 250σ = 5P = 95%

x = g

7.Intervalli di confidenzaMedia

Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 80 telefoni, media 76 h, deviazione standard nota 4 h. Modello 2: 40 telefoni, media 82 h, deviazione standard nota 4 h. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 76 hσ₁ = 4 hn₂ = 40x̄₂ = 82 hσ₂ = 4 h99%

limite inferiore = h

8.Intervalli di confidenzaDifficile

I diametri di 25 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 9,1 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite inferiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 24, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 12,401 e il 2,5% sopra 39,364.

n = 25s = 9,1 µmχ² = 12,401, 39,364

σ = µm

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 51,93 e una deviazione standard campionaria di 4. Trova la statistica test t per H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 51,93s = 4n = 36

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un test z unilaterale con α = 0,05 deve rilevare uno spostamento della media di 4 unità con una potenza del 90%. La deviazione standard è 16. Trova la dimensione minima del campione n.

α = 0,05potenza = 90%δ = 4σ = 16z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 8?

n = 5ŷ = 8

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 17,52

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 250/7 = 35,71

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 3,286² + 17,29² + 19,29² + (−16,71)² + (−13,71)² + 13,29² + (−22,71)² = 1841

Deviazione standard

s = √(1841/6) = 17,52

Risposta

s = 17,52

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,02275

Standardizza

z = 2

Tavola della normale standard

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Risposta

P = 0,02275

3.Probabilità

Risposta: Var(X) = 0,99

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 1·0,1 + 2·0,25 + 3·0,3 + 4·0,35 = 2,9

Media dei quadrati

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,25 + 9·0,3 + 16·0,35 = 9,4

Varianza

Var(X) = 9,4 − 2,9² = 0,99

Risposta

Var(X) = 0,99

4.Probabilità

Risposta: E(G) = 1 €

Esiti netti

G: 10 (p = 0,3), 90 (p = 0,05), −10 (p = 0,65)

Valore atteso

E(G) = 10·0,3 + 90·0,05 − 10·0,65 = 1 €

Risposta

E(G) = 1 €

Un valore positivo significa che in media guadagni denaro.

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,8081

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (53,5 − 65)/10 = −1,15

z₂ = (80 − 65)/10 = 1,5

Area compresa

P = Φ(1,5) − Φ(−1,15) = 0,9332 − 0,1251 = 0,8081

Risposta

P = 0,8081

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 258,2 g

z del percentile

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Ritorno a x

x = 250 + 1,645·5 = 258,22 g

Risposta

x = 258,22 g

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = −7,995 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Stima puntuale

x̄₁ − x̄₂ = 76 − 82 = −6

Errore standard

SE = √(4²/80 + 4²/40) = 0,7746

Margine di errore

E = 2,576·0,7746 = 1,995

Intervallo

−6 ± 1,995 → [−7,995, −4,005]

Risposta

limite inferiore = −7,995 h

L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.

8.Intervalli di confidenza

Risposta: σ = 7,106 µm

Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.

Somma dei quadrati

(n − 1)s² = 24·9,1² = 1987

Limiti per σ²

1987/39,364 = 50,49

1987/12,401 = 160,3

Limite per σ

σ = √50,49 = 7,106 µm

Risposta

σ = 7,106 µm

Intervallo al 95% per σ: [7,106, 12,66] µm.

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 2,895

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667

Statistica test

t = (51,93 − 50)/0,6667 = 2,895

Risposta

t = 2,895

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 138

Dimensione del campione per un test: per rilevare uno spostamento reale δ con potenza 1 − β in un test z unilaterale al livello α, l’errore standard deve soddisfare δ = (z_α + z_β)·σ/√n, quindi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrotondato per eccesso.

Ricava n

n = ((1,645 + 1,282)·16/4)² = 137,1

Arrotonda per eccesso

n = 138

Risposta

n = 138

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = −0,9894

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 91/6 = 15,17

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −51,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 154,8

Coefficiente di correlazione

r = −51,5/√(17,5·154,8) = −0,9894

Risposta

r = −0,9894

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 4,88

Medie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 47/5 = 9,4

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 50

Retta di regressione

b = 50/40 = 1,25

a = 9,4 − 1,25·6 = 1,9

ŷ = 1,9 + 1,25·x

Risolvi per x

x = (8 − 1,9)/1,25 = 4,88

Risposta

x = 4,88

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