Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 12, 36, 48, 57, 42.

n = 5

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 15. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 147,5?

μ = 170σ = 15x = 147,5

P =

3.ProbabilitàMedia

Un sacchetto contiene 3 palline rosse e 6 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?

3 / 6

P =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 7 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,7, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 7p = 0,7

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Quale frazione è compresa tra 169,95 e 179,75 cm? Dai P come numero decimale.

μ = 178σ = 7x₁ = 169,95x₂ = 179,75

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Trova il valore x sotto il quale si trova il 80 % dei dati (il 80° percentile).

μ = 250σ = 5P = 80%

x = g

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 16 elementi ha media 51,5 e deviazione standard s = 17,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.

n = 16x̄ = 51,5s = 17,590%t(15) = 1,753

limite superiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 16. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2?

σ = 16E = 299%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

20 dipendenti svolgono un test di dattilografia prima e dopo un corso di formazione. Per ogni persona si registra la differenza d = dopo − prima (parole al minuto). La differenza media è −3,96 e la deviazione standard delle differenze è 5,9. Trova la statistica test per dati appaiati t per H₀: μ_d = 0.

n = 20d̄ = −3,96s_d = 5,9

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 81 misure ha media 500,4. La deviazione standard della popolazione è 4. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.

x̄ = 500,4σ = 4n = 8190%

U =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 5

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (7, 25). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 5(7, 25)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 16,97

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 195/5 = 39

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−27)² + (−3)² + 9² + 18² + 3² = 1152

Deviazione standard

s = √(1152/4) = 16,97

Risposta

s = 16,97

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,06681

Standardizza

z = −1,5

Tavola della normale standard

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

Risposta

P = 0,06681

3.Probabilità

Risposta: P = 0,08333

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Prima e seconda estrazione

P = 3/9 · 2/8 = 6/72 = 0,08333

Risposta

P = 0,08333

4.Probabilità

Risposta: P = 0,003791

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,3⁷ = 0,0002187

P(X = 1) = 7·0,7·0,3⁶ = 0,003572

Sommale

P = 0,0002187 + 0,003572 = 0,003791

Risposta

P = 0,003791

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,4736

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (169,95 − 178)/7 = −1,15

z₂ = (179,75 − 178)/7 = 0,25

Area compresa

P = Φ(0,25) − Φ(−1,15) = 0,5987 − 0,1251 = 0,4736

Risposta

P = 0,4736

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 254,2 g

z del percentile

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Ritorno a x

x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g

Risposta

x = 254,21 g

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 59,17

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 15, t = 1,753

Margine di errore

E = 1,753·17,5/√16 = 7,669

Intervallo

51,5 ± 7,669 → [43,83, 59,17]

Risposta

limite superiore = 59,17

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 425

Ricava n

n = (2,576·16/2)² = 424,7

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 425

Risposta

n = 425

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −3,002

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard della differenza media

SE = 5,9/√20 = 1,319

Statistica test

t = −3,96/1,319 = −3,002

Risposta

t = −3,002

Con df = 19, il valore critico bilaterale al 5% è 2,093; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: U = 501,1

Margine di errore

E = 1,645·4/√81 = 0,7311

Limite dell'intervallo

U = 500,4 + 0,7311 = 501,1

Risposta

U = 501,1

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,881

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 319/5 = 63,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 41

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 190,8

Coefficiente di determinazione

r² = 41²/(10·190,8) = 0,881

Risposta

r² = 0,881

Circa il 88,1% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = 3,15

Medie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 95/5 = 19

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 114

Retta di regressione

b = 114/40 = 2,85

a = 19 − 2,85·6 = 1,9

ŷ = 1,9 + 2,85·x

Valore previsto

ŷ = 1,9 + 2,85·7 = 21,85

Residuo

e = 25 − 21,85 = 3,15

Risposta

e = 3,15

Il punto si trova sopra la retta.

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