Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 38, 33, 16, 13, 36, 41, 17.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 20. Quale proporzione P dei valori è superiore a 20?

μ = 50σ = 20x = 20

P =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la deviazione standard σ di X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,25, 0,15, 0,25

σ =

4.ProbabilitàDifficile

X ha la distribuzione mostrata e Y = 2X + 1. Trova la deviazione standard σ_Y di Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,3, 0,1, 0,25Y = 2X + 1

σ_Y =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che le durate delle batterie abbiano una distribuzione normale con media 500 h e deviazione standard 40 h. Quale frazione è compresa tra 462 e 534 h? Dai P come numero decimale.

μ = 500σ = 40x₁ = 462x₂ = 534

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Trova il valore x sotto il quale si trova il 97,5 % dei dati (il 97,5° percentile).

μ = 250σ = 5P = 97,5%

x = g

7.Intervalli di confidenzaMedia

Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 60 telefoni, media 104,5 h, deviazione standard nota 8 h. Modello 2: 80 telefoni, media 100 h, deviazione standard nota 20 h. Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 104,5 hσ₁ = 8 hn₂ = 80x̄₂ = 100 hσ₂ = 20 h90%

E = h

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 35. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1,5?

σ = 35E = 1,599%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 100 studenti ha un punteggio medio di 118,2 e una deviazione standard campionaria di 10. Trova la statistica test t per H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 118,2s = 10n = 100

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 95 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 1,5? La deviazione standard è 8. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 8E = 1,595%

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 5

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 4,5.

n = 6x = 4,5

ŷ =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 11,88

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 194/7 = 27,71

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 10,29² + 5,286² + (−11,71)² + (−14,71)² + 8,286² + 13,29² + (−10,71)² = 847,4

Deviazione standard

s = √(847,4/6) = 11,88

Risposta

s = 11,88

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,9332

Standardizza

z = −1,5

Tavola della normale standard

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Risposta

P = 0,9332

3.Probabilità

Risposta: σ = 2,375

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 0·0,35 + 2·0,25 + 4·0,15 + 6·0,25 = 2,6

Media dei quadrati

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,25 + 16·0,15 + 36·0,25 = 12,4

Varianza

Var(X) = 12,4 − 2,6² = 5,64

σ = √5,64 = 2,375

Risposta

σ = 2,375

4.Probabilità

Risposta: σ_Y = 2,356

Dispersione di X

μ = 1,25, Var(X) = 1,388, σ_X = 1,178

Trasformazione lineare

σ_Y = |2|·1,178 = 2,356

Risposta

σ_Y = 2,356

La media invece si sposta: E(Y) = 2·1,25 + 1 = 3,5.

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,6313

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (462 − 500)/40 = −0,95

z₂ = (534 − 500)/40 = 0,85

Area compresa

P = Φ(0,85) − Φ(−0,95) = 0,8023 − 0,1711 = 0,6313

Risposta

P = 0,6313

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 259,8 g

z del percentile

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Ritorno a x

x = 250 + 1,96·5 = 259,8 g

Risposta

x = 259,8 g

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 4,052 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Stima puntuale

x̄₁ − x̄₂ = 104,5 − 100 = 4,5

Errore standard

SE = √(8²/60 + 20²/80) = 2,463

Margine di errore

E = 1,645·2,463 = 4,052

Risposta

E = 4,052 h

L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 3613

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Ricava n

n = (2,576·35/1,5)² = 3613

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 3613

Risposta

n = 3613

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −1,8

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 10/√100 = 10/10 = 1

Statistica test

t = (118,2 − 120)/1 = −1,8

Risposta

t = −1,8

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 110

Ricava n

n = (1,96·8/1,5)² = 109,3

Arrotonda per eccesso

n = 110

Risposta

n = 110

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,9425

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 346/5 = 69,2

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 596,8

Coefficiente di determinazione

r² = 150²/(40·596,8) = 0,9425

Risposta

r² = 0,9425

Circa il 94,25% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: ŷ = 14,31

Medie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 102/6 = 17

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −47

Retta di regressione

b = −47/17,5 = −2,686

a = 17 − (−2,686)·3,5 = 26,4

ŷ = 26,4 − 2,686·x

Previsione

ŷ = 26,4 + (−2,686)·4,5 = 14,31

Risposta

ŷ = 14,31

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1