Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 17, 60, 59, 30, 51, 36.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 20. Trova il punteggio z z di un voto pari a 75.

μ = 50σ = 20x = 75

z =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la deviazione standard σ di X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,2, 0,2, 0,3

σ =

4.ProbabilitàDifficile

Giocare a un gioco costa 10 €. Si vincono 40 € con probabilità 0,15 e 500 € con probabilità 0,02; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.

posta = €10€40: p = 0,15€500: p = 0,02

E(G) = €

5.Distribuzione normaleMedia

Le masse di passeggeri con bagaglio sono indipendenti e normali con media 85 kg e deviazione standard 12 kg. Trova la probabilità P che la massa totale di 9 di essi superi 837 kg. Arrotonda z a due decimali.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 9> 837 kg

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di le durate delle batterie sono distribuiti normalmente con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trascina la soglia in modo che il 30% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.

μ = 500 hσ = 40 h30%

x = h

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 6 elementi ha media 95 e deviazione standard s = 6,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.

n = 6x̄ = 95s = 6,590%t(5) = 2,015

limite superiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 27. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 0,5?

σ = 27E = 0,595%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

8 dipendenti svolgono un test di dattilografia prima e dopo un corso di formazione. Per ogni persona si registra la differenza d = dopo − prima (parole al minuto). La differenza media è −4,03 e la deviazione standard delle differenze è 7,6. Trova la statistica test per dati appaiati t per H₀: μ_d = 0.

n = 8d̄ = −4,03s_d = 7,6

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un test z unilaterale di H₀: μ = 200 contro H₁: μ < 200 viene eseguito con α = 0.01 su un campione di 36; la deviazione standard è nota e vale 3. In realtà la media è 199.15. Trova la probabilità di un errore di secondo tipo β in percentuale.

μ₀ = 200μ = 199,15σ = 3n = 36α = 0,01

β = %

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 6Σx = 48Σy = 483Σx² = 454Σy² = 39627Σxy = 4091

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (4,5, 44). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 5(4,5, 44)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 17,31

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 253/6 = 42,17

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−25,17)² + 17,83² + 16,83² + (−12,17)² + 8,833² + (−6,167)² = 1499

Deviazione standard

s = √(1499/5) = 17,31

Risposta

s = 17,31

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = 1,25

Standardizza

z = (75 − 50)/20 = 1,25

Risposta

z = 1,25

3.Probabilità

Risposta: σ = 1,204

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 0·0,3 + 1·0,2 + 2·0,2 + 3·0,3 = 1,5

Media dei quadrati

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,2 + 4·0,2 + 9·0,3 = 3,7

Varianza

Var(X) = 3,7 − 1,5² = 1,45

σ = √1,45 = 1,204

Risposta

σ = 1,204

4.Probabilità

Risposta: E(G) = 6 €

Esiti netti

G: 30 (p = 0,15), 490 (p = 0,02), −10 (p = 0,83)

Valore atteso

E(G) = 30·0,15 + 490·0,02 − 10·0,83 = 6 €

Risposta

E(G) = 6 €

Un valore positivo significa che in media guadagni denaro.

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,02275

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione del totale

μ_T = 765 kg, σ_T = 12·√9 = 36 kg

Standardizza

z = (837 − 765)/36 = 2

Probabilità

P = 1 − Φ(2) = 0,02275

Risposta

P = 0,02275

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 479 h

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra

Φ(z) = 0,3

z dalla tabella

z ≈ −0,52

Di nuovo nelle unità originali

x = 500 − 0,52·40 = 479 h

Risposta

x = 479 h

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 100,3

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 5, t = 2,015

Margine di errore

E = 2,015·6,5/√6 = 5,347

Intervallo

95 ± 5,347 → [89,65, 100,3]

Risposta

limite superiore = 100,3

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 11203

Ricava n

n = (1,96·27/0,5)² = 11202

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 11203

Risposta

n = 11203

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −1,5

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Errore standard della differenza media

SE = 7,6/√8 = 2,687

Statistica test

t = −4,03/2,687 = −1,5

Risposta

t = −1,5

Con df = 7, il valore critico bilaterale al 5% è 2,365; |t| è minore, quindi H₀ non viene rifiutata.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: β = 73,43 %

Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Media campionaria critica

SE = 3/√36 = 0,5

x̄_c = 200 − 2,326·0,5 = 198,8

z sotto la media vera

z = (198,8 − 199,15)/0,5 = −0,626

Errore di secondo tipo

potenza = P(Z < −0.626) = 26.57%

β = 100% − 26,57% = 73,43%

Risposta

β = 73,43%

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9937

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 4091 − 48·483/6 = 227

S_xx = 454 − 48²/6 = 70

S_yy = 39627 − 483²/6 = 745,5

Coefficiente di correlazione

r = 227/√(70·745,5) = 0,9937

Risposta

r = 0,9937

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = −3,15

Medie

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 228/5 = 45,6

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 31

Retta di regressione

b = 31/10 = 3,1

a = 45,6 − 3,1·4 = 33,2

ŷ = 33,2 + 3,1·x

Valore previsto

ŷ = 33,2 + 3,1·4,5 = 47,15

Residuo

e = 44 − 47,15 = −3,15

Risposta

e = −3,15

Il punto si trova sotto la retta.

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