Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 16, 13, 50, 27, 29.

n = 5

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 15. Quale proporzione P dei valori è superiore a 192,5?

μ = 170σ = 15x = 192,5

P =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,05, 0,35, 0,25, 0,35

Var(X) =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 7 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,6, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 5 risposte corrette?

n = 7p = 0,6k = 5

P =

5.Distribuzione normaleMedia

X è normale con media 60 s e deviazione standard 5 s; Y è indipendente e normale con media 45 s e deviazione standard 4 s. Trova la probabilità P che X + Y sia maggiore di 113 s. Arrotonda z a due decimali.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 113 s

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Trova il valore x sotto il quale si trova il 90 % dei dati (il 90° percentile).

μ = 65σ = 10P = 90%

x = punti

7.Intervalli di confidenzaMedia

La pressione arteriosa di 11 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media 2,1 e deviazione standard 6,7. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95% per la differenza media.

n = 11d̄ = 2,1s_d = 6,795%t(10) = 2,228

limite inferiore = mmHg

8.Intervalli di confidenzaDifficile

Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 8 parcelle, resa media 98 kg, deviazione standard 1,5 kg. Gruppo di parcelle 2: 6 parcelle, media 98,5 kg, deviazione standard 3 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 98s₁ = 1,5n₂ = 6x̄₂ = 98,5s₂ = 390%t(12) = 1,782

E = kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 81 studenti ha un punteggio medio di 199,2 e una deviazione standard campionaria di 4. Trova la statistica test t per H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 199,2s = 4n = 81

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 90 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 2,5? La deviazione standard è 12. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 12E = 2,590%

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 6Σx = 33Σy = 408Σx² = 199Σy² = 28400Σxy = 2348

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 9.

n = 6x = 9

ŷ =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 14,58

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 135/5 = 27

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−11)² + (−14)² + 23² + 0² + 2² = 850

Deviazione standard

s = √(850/4) = 14,58

Risposta

s = 14,58

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,06681

Standardizza

z = 1,5

Tavola della normale standard

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Risposta

P = 0,06681

3.Probabilità

Risposta: Var(X) = 89

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 10·0,05 + 20·0,35 + 30·0,25 + 40·0,35 = 29

Media dei quadrati

E(X²) = 100·0,05 + 400·0,35 + 900·0,25 + 1600·0,35 = 930

Varianza

Var(X) = 930 − 29² = 89

Risposta

Var(X) = 89

4.Probabilità

Risposta: P = 0,2613

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomiale

P(X = 5) = 21·0,6⁵·0,4² = 21·0,07776·0,16 = 0,2613

Risposta

P = 0,2613

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,1056

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione della somma

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standardizza

z = (113 − 105)/6,403 = 1,25

Coda superiore

P = 1 − Φ(1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056

Risposta

P = 0,1056

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 77,82 punti

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

z del percentile

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Ritorno a x

x = 65 + 1,282·10 = 77,82 punti

Risposta

x = 77,82 punti

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = −2,401 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valore critico

df = 10, t = 2,228

Margine di errore

E = 2,228·6,7/√11 = 4,501

Intervallo

2,1 ± 4,501 → [−2,401, 6,601]

Risposta

limite inferiore = −2,401 mmHg

8.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 2,165 kg

Deviazione standard combinata

s_p² = (7·1,5² + 5·3²)/12 = 5,063

s_p = 2,25

Margine di errore

E = 1,782·2,25·√(1/8 + 1/6) = 2,165

Risposta

E = 2,165 kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −1,8

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Statistica test

t = (199,2 − 200)/0,4444 = −1,8

Risposta

t = −1,8

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 63

Ricava n

n = (1,645·12/2,5)² = 62,35

Arrotonda per eccesso

n = 63

Risposta

n = 63

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9706

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 2348 − 33·408/6 = 104

S_xx = 199 − 33²/6 = 17,5

S_yy = 28400 − 408²/6 = 656

Coefficiente di correlazione

r = 104/√(17,5·656) = 0,9706

Risposta

r = 0,9706

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: ŷ = 12,79

Medie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 57/6 = 9,5

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 115

Retta di regressione

b = 115/70 = 1,643

a = 9,5 − 1,643·7 = −2

ŷ = −2 + 1,643·x

Previsione

ŷ = −2 + 1,643·9 = 12,79

Risposta

ŷ = 12,79

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