Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 15, 44, 51, 15, 11.

n = 5

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 12. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 72?

μ = 60σ = 12x = 72

P =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,35, 0,1, 0,25

Var(X) =

4.ProbabilitàDifficile

Giocare a un gioco costa 2 €. Si vincono 6 € con probabilità 0,15 e 40 € con probabilità 0,01; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.

posta = €2€6: p = 0,15€40: p = 0,01

E(G) = €

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Quale frazione è compresa tra 250 e 256 g? Dai P come numero decimale.

μ = 250σ = 5x₁ = 250x₂ = 256

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di i punteggi del QI sono distribuiti normalmente con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Trascina la soglia in modo che il 95% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.

μ = 100 puntiσ = 15 punti95%

x = punti

7.Intervalli di confidenzaMedia

Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 50 telefoni, media 81,5 h, deviazione standard nota 18 h. Modello 2: 50 telefoni, media 68 h, deviazione standard nota 14 h. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 81,5 hσ₁ = 18 hn₂ = 50x̄₂ = 68 hσ₂ = 14 h99%

limite inferiore = h

8.Intervalli di confidenzaDifficile

Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 5 parcelle, resa media 97 kg, deviazione standard 1,5 kg. Gruppo di parcelle 2: 11 parcelle, media 86 kg, deviazione standard 2 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 97s₁ = 1,5n₂ = 11x̄₂ = 86s₂ = 290%t(14) = 1,761

limite inferiore = kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Si confrontano due metodi didattici. Gruppo 1: 7 studenti, punteggio medio 76,5, deviazione standard 2,5. Gruppo 2: 10 studenti, punteggio medio 65,8, deviazione standard 8,5. Supponi varianze della popolazione uguali e usa il test t a due campioni con varianza combinata. Trova la statistica test t per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (gruppo 1 meno gruppo 2).

n₁ = 7x̄₁ = 76,5s₁ = 2,5n₂ = 10x̄₂ = 65,8s₂ = 8,5

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 81 misure ha media 198,2. La deviazione standard della popolazione è 8. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.

x̄ = 198,2σ = 8n = 8199%

U =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 38?

n = 5ŷ = 38

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 18,77

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 136/5 = 27,2

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−12,2)² + 16,8² + 23,8² + (−12,2)² + (−16,2)² = 1409

Deviazione standard

s = √(1409/4) = 18,77

Risposta

s = 18,77

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,8413

Standardizza

z = 1

Tavola della normale standard

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Risposta

P = 0,8413

3.Probabilità

Risposta: Var(X) = 5,24

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 0·0,3 + 2·0,35 + 4·0,1 + 6·0,25 = 2,6

Media dei quadrati

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,35 + 16·0,1 + 36·0,25 = 12

Varianza

Var(X) = 12 − 2,6² = 5,24

Risposta

Var(X) = 5,24

4.Probabilità

Risposta: E(G) = −0,7 €

Esiti netti

G: 4 (p = 0,15), 38 (p = 0,01), −2 (p = 0,84)

Valore atteso

E(G) = 4·0,15 + 38·0,01 − 2·0,84 = −0,7 €

Risposta

E(G) = −0,7 €

Un valore negativo significa che in media perdi denaro.

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,3849

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (250 − 250)/5 = 0

z₂ = (256 − 250)/5 = 1,2

Area compresa

P = Φ(1,2) − Φ(0) = 0,8849 − 0,5 = 0,3849

Risposta

P = 0,3849

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 124,6 punti

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra

Φ(z) = 0,95

z dalla tabella

z ≈ 1,64

Di nuovo nelle unità originali

x = 100 + 1,64·15 = 124,6 punti

Risposta

x = 124,6 punti

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = 5,193 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Stima puntuale

x̄₁ − x̄₂ = 81,5 − 68 = 13,5

Errore standard

SE = √(18²/50 + 14²/50) = 3,225

Margine di errore

E = 2,576·3,225 = 8,307

Intervallo

13,5 ± 8,307 → [5,193, 21,81]

Risposta

limite inferiore = 5,193 h

L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.

8.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = 9,223 kg

Deviazione standard combinata

s_p² = (4·1,5² + 10·2²)/14 = 3,5

s_p = 1,871

Margine di errore

E = 1,761·1,871·√(1/5 + 1/11) = 1,777

Intervallo

11 ± 1,777 → [9,223, 12,78]

Risposta

limite inferiore = 9,223 kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 3,207

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varianza combinata

s_p² = (6·2,5² + 9·8,5²)/15 = 45,85

s_p = 6,771

Errore standard

SE = 6,771·√(1/7 + 1/10) = 3,337

Statistica test

t = (76,5 − 65,8)/3,337 = 3,207

Risposta

t = 3,207

Con df = 15, il valore critico bilaterale al 5% è 2,131; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: U = 200,5

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Margine di errore

E = 2,576·8/√81 = 2,29

Limite dell'intervallo

U = 198,2 + 2,29 = 200,5

Risposta

U = 200,5

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9227

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 349/6 = 58,17

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 82,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 456,8

Coefficiente di correlazione

r = 82,5/√(17,5·456,8) = 0,9227

Risposta

r = 0,9227

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 2,484

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 198/5 = 39,6

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 31

Retta di regressione

b = 31/10 = 3,1

a = 39,6 − 3,1·3 = 30,3

ŷ = 30,3 + 3,1·x

Risolvi per x

x = (38 − 30,3)/3,1 = 2,484

Risposta

x = 2,484

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1