Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 44, 29, 24, 29, 60.

n = 5

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 5. Quale proporzione P dei valori è superiore a 45?

μ = 50σ = 5x = 45

P =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la deviazione standard σ di X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

σ =

4.ProbabilitàDifficile

X ha la distribuzione mostrata e Y = 5X + 5. Trova la deviazione standard σ_Y di Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 5X + 5

σ_Y =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,8159. Trova z con due decimali.

A = 0,8159

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di i pesi dei sacchetti sono distribuiti normalmente con media 250 g e deviazione standard 5 g. Trascina la soglia in modo che il 20% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.

μ = 250 gσ = 5 g20%

x = g

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un intervallo di confidenza al 99% per una media, basato su 64 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 6. Qual è il margine di errore E₂ se lo stesso studio usa invece 16 osservazioni?

99%n₁ = 64E₁ = 6n₂ = 16

E₂ =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 8 parcelle, resa media 22,5 kg, deviazione standard 1,5 kg. Gruppo di parcelle 2: 14 parcelle, media 16,5 kg, deviazione standard 9 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 22,5s₁ = 1,5n₂ = 14x̄₂ = 16,5s₂ = 990%t(20) = 1,725

limite superiore = kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 74,25 e una deviazione standard campionaria di 5. Trova la statistica test t per H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 74,25s = 5n = 36

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 81 misure ha media 56,2. La deviazione standard della popolazione è 20. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 95 % per la media.

x̄ = 56,2σ = 20n = 8195%

L =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 5

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 67?

n = 6ŷ = 67

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 14,79

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 186/5 = 37,2

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 6,8² + (−8,2)² + (−13,2)² + (−8,2)² + 22,8² = 874,8

Deviazione standard

s = √(874,8/4) = 14,79

Risposta

s = 14,79

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,8413

Standardizza

z = −1

Tavola della normale standard

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Risposta

P = 0,8413

3.Probabilità

Risposta: σ = 0,8047

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Media dei quadrati

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Varianza

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Risposta

σ = 0,8047

4.Probabilità

Risposta: σ_Y = 4,023

Dispersione di X

μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Trasformazione lineare

σ_Y = |5|·0,8047 = 4,023

Risposta

σ_Y = 4,023

La media invece si sposta: E(Y) = 5·1,05 + 5 = 10,25.

5.Distribuzione normale

Risposta: z = −0,9

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = 1 − 0,8159 = 0,1841

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,1841 dentro la tabella e leggi z.

z = −0,90

Risposta

z = −0,90

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 245,8 g

Area a sinistra

Φ(z) = 0,2

z dalla tabella

z ≈ −0,84

Di nuovo nelle unità originali

x = 250 − 0,84·5 = 245,8 g

Risposta

x = 245,8 g

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E₂ = 12

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Rapporto dei margini

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(64/16) = 2

Nuovo margine

E₂ = 6·2 = 12

Risposta

E₂ = 12

8.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 11,59 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Deviazione standard combinata

s_p² = (7·1,5² + 13·9²)/20 = 53,44

s_p = 7,31

Margine di errore

E = 1,725·7,31·√(1/8 + 1/14) = 5,589

Intervallo

6 ± 5,589 → [0,4113, 11,59]

Risposta

limite superiore = 11,59 kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −0,9

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333

Statistica test

t = (74,25 − 75)/0,8333 = −0,9

Risposta

t = −0,9

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: L = 51,84

Margine di errore

E = 1,96·20/√81 = 4,356

Limite dell'intervallo

L = 56,2 − 4,356 = 51,84

Risposta

L = 51,84

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,8856

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 277/5 = 55,4

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 317,2

Coefficiente di determinazione

r² = 106²/(40·317,2) = 0,8856

Risposta

r² = 0,8856

Circa il 88,56% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 7,998

Medie

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 333/6 = 55,5

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 403

Retta di regressione

b = 403/70 = 5,757

a = 55,5 − 5,757·6 = 20,96

ŷ = 20,96 + 5,757·x

Risolvi per x

x = (67 − 20,96)/5,757 = 7,998

Risposta

x = 7,998

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