Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 46, 10, 39, 36, 25, 41.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 25. Quale proporzione P dei valori è superiore a 487,5?

μ = 500σ = 25x = 487,5

P =

3.ProbabilitàMedia

Un sacchetto contiene 7 palline rosse e 3 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?

7 / 3

P =

4.ProbabilitàDifficile

Giocare a un gioco costa 10 €. Si vincono 30 € con probabilità 0,1 e 100 € con probabilità 0,02; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.

posta = €10€30: p = 0,1€100: p = 0,02

E(G) = €

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Quale frazione è compresa tra 20,3 e 33,5 min? Dai P come numero decimale.

μ = 32σ = 6x₁ = 20,3x₂ = 33,5

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Le altezze X degli uomini e Y delle donne di un gruppo sono indipendenti e normali: X ha media 180 cm e deviazione standard 10 cm, Y ha media 170 cm e deviazione standard 12 cm. Trova la probabilità P che X sia maggiore di Y. Arrotonda z a due decimali.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 10 elementi ha media 90 e deviazione standard s = 15. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 99 % per la media.

n = 10x̄ = 90s = 1599%t(9) = 3,25

limite inferiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 37. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1?

σ = 37E = 199%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

13 dipendenti svolgono un test di dattilografia prima e dopo un corso di formazione. Per ogni persona si registra la differenza d = dopo − prima (parole al minuto). La differenza media è 5,75 e la deviazione standard delle differenze è 5,6. Trova la statistica test per dati appaiati t per H₀: μ_d = 0.

n = 13d̄ = 5,75s_d = 5,6

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un test z unilaterale di H₀: μ = 50 contro H₁: μ > 50 viene eseguito con α = 0,10 su un campione di 100; la deviazione standard è nota e vale 15. In realtà la media è 51,95. Trova la probabilità di un errore di secondo tipo β in percentuale.

μ₀ = 50μ = 51,95σ = 15n = 100α = 0,10

β = %

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (3,5, 36). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 6(3,5, 36)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 13,2

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 197/6 = 32,83

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 13,17² + (−22,83)² + 6,167² + 3,167² + (−7,833)² + 8,167² = 870,8

Deviazione standard

s = √(870,8/5) = 13,2

Risposta

s = 13,2

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,6915

Standardizza

z = −0,5

Tavola della normale standard

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Risposta

P = 0,6915

3.Probabilità

Risposta: P = 0,4667

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Prima e seconda estrazione

P = 7/10 · 6/9 = 42/90 = 0,4667

Risposta

P = 0,4667

4.Probabilità

Risposta: E(G) = −5 €

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Esiti netti

G: 20 (p = 0,1), 90 (p = 0,02), −10 (p = 0,88)

Valore atteso

E(G) = 20·0,1 + 90·0,02 − 10·0,88 = −5 €

Risposta

E(G) = −5 €

Un valore negativo significa che in media perdi denaro.

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,5731

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (20,3 − 32)/6 = −1,95

z₂ = (33,5 − 32)/6 = 0,25

Area compresa

P = Φ(0,25) − Φ(−1,95) = 0,5987 − 0,02559 = 0,5731

Risposta

P = 0,5731

6.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,7389

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione della differenza

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standardizza

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Probabilità

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Risposta

P = 0,7389

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = 74,58

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 9, t = 3,25

Margine di errore

E = 3,25·15/√10 = 15,42

Intervallo

90 ± 15,42 → [74,58, 105,4]

Risposta

limite inferiore = 74,58

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 9085

Ricava n

n = (2,576·37/1)² = 9084

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 9085

Risposta

n = 9085

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 3,702

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Errore standard della differenza media

SE = 5,6/√13 = 1,553

Statistica test

t = 5,75/1,553 = 3,702

Risposta

t = 3,702

Con df = 12, il valore critico bilaterale al 5% è 2,179; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: β = 49,28 %

Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Media campionaria critica

SE = 15/√100 = 1,5

x̄_c = 50 + 1,282·1,5 = 51,92

z sotto la media vera

z = (51,92 − 51,95)/1,5 = −0,018

Errore di secondo tipo

potenza = P(Z > −0,018) = 50,72%

β = 100% − 50,72% = 49,28%

Risposta

β = 49,28%

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9964

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 102/6 = 17

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 138

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 274

Coefficiente di correlazione

r = 138/√(70·274) = 0,9964

Risposta

r = 0,9964

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = −1,705

Medie

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 242/6 = 40,33

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 46

Retta di regressione

b = 46/17,5 = 2,629

a = 40,33 − 2,629·4,5 = 28,5

ŷ = 28,5 + 2,629·x

Valore previsto

ŷ = 28,5 + 2,629·3,5 = 37,7

Residuo

e = 36 − 37,7 = −1,705

Risposta

e = −1,705

Il punto si trova sotto la retta.

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