Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 42, 36, 56, 38, 37.

n = 5

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 10. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 65?

μ = 70σ = 10x = 65

P =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,35, 0,3, 0,05

Var(X) =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 6 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,2, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 6p = 0,2

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Quale frazione è compresa tra 242,5 e 257,75 g? Dai P come numero decimale.

μ = 250σ = 5x₁ = 242,5x₂ = 257,75

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

I diametri D dei fori sono normali con media 25,03 mm e deviazione standard 0,01 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,02 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.

foro: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmalbero: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Intervalli di confidenzaMedia

Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 30 telefoni, media 65,5 h, deviazione standard nota 19 h. Modello 2: 30 telefoni, media 71 h, deviazione standard nota 12 h. Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 65,5 hσ₁ = 19 hn₂ = 30x̄₂ = 71 hσ₂ = 12 h90%

E = h

8.Intervalli di confidenzaDifficile

Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 8 parcelle, resa media 92,5 kg, deviazione standard 5,5 kg. Gruppo di parcelle 2: 14 parcelle, media 103 kg, deviazione standard 8,5 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 92,5s₁ = 5,5n₂ = 14x̄₂ = 103s₂ = 8,590%t(20) = 1,725

E = kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 25 studenti ha un punteggio medio di 502,9 e una deviazione standard campionaria di 5. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 502,9s = 5n = 25

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 95 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 3? La deviazione standard è 4. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 4E = 395%

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 5

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (7, 53). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 5(7, 53)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 8,258

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 209/5 = 41,8

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 0,2² + (−5,8)² + 14,2² + (−3,8)² + (−4,8)² = 272,8

Deviazione standard

s = √(272,8/4) = 8,258

Risposta

s = 8,258

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,3085

Standardizza

z = −0,5

Tavola della normale standard

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 0,3085

Risposta

P = 0,3085

3.Probabilità

Risposta: Var(X) = 0,79

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,3 + 4·0,05 = 2,1

Media dei quadrati

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,3 + 16·0,05 = 5,2

Varianza

Var(X) = 5,2 − 2,1² = 0,79

Risposta

Var(X) = 0,79

4.Probabilità

Risposta: P = 0,6554

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,8⁶ = 0,2621

P(X = 1) = 6·0,2·0,8⁵ = 0,3932

Sommale

P = 0,2621 + 0,3932 = 0,6554

Risposta

P = 0,6554

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,8726

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (242,5 − 250)/5 = −1,5

z₂ = (257,75 − 250)/5 = 1,55

Area compresa

P = Φ(1,55) − Φ(−1,5) = 0,9394 − 0,06681 = 0,8726

Risposta

P = 0,8726

6.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,9099

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione della differenza

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02236 mm

Standardizza

z = (0 − 0,03)/0,02236 = −1,34

Probabilità

P = 1 − Φ(−1,34) = 0,9099

Risposta

P = 0,9099

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 6,749 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Stima puntuale

x̄₁ − x̄₂ = 65,5 − 71 = −5,5

Errore standard

SE = √(19²/30 + 12²/30) = 4,103

Margine di errore

E = 1,645·4,103 = 6,749

Risposta

E = 6,749 h

L’intervallo contiene 0, quindi i dati non mostrano una differenza significativa.

8.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 5,8 kg

Deviazione standard combinata

s_p² = (7·5,5² + 13·8,5²)/20 = 57,55

s_p = 7,586

Margine di errore

E = 1,725·7,586·√(1/8 + 1/14) = 5,8

Risposta

E = 5,8 kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 2,9

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Statistica test

t = (502,9 − 500)/1 = 2,9

Risposta

t = 2,9

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 7

Ricava n

n = (1,96·4/3)² = 6,83

Arrotonda per eccesso

n = 7

Risposta

n = 7

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,8099

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 360/5 = 72

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 146

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 658

Coefficiente di determinazione

r² = 146²/(40·658) = 0,8099

Risposta

r² = 0,8099

Circa il 80,99% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = −3,05

Medie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 258/5 = 51,6

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 178

Retta di regressione

b = 178/40 = 4,45

a = 51,6 − 4,45·6 = 24,9

ŷ = 24,9 + 4,45·x

Valore previsto

ŷ = 24,9 + 4,45·7 = 56,05

Residuo

e = 53 − 56,05 = −3,05

Risposta

e = −3,05

Il punto si trova sotto la retta.

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