Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 25, 12, 59, 28, 13, 33, 13.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 5. Quale proporzione P dei valori è superiore a 162,5?

μ = 170σ = 5x = 162,5

P =

3.ProbabilitàMedia

Si lancia un dado equo 5 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 5

P =

4.ProbabilitàDifficile

Giocare a un gioco costa 1 €. Si vincono 2 € con probabilità 0,1 e 10 € con probabilità 0,01; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.

posta = €1€2: p = 0,1€10: p = 0,01

E(G) = €

5.Distribuzione normaleMedia

Le masse di sacchi di cemento sono indipendenti e normali con media 25 kg e deviazione standard 0,5 kg. Trova la probabilità P che la massa totale di 6 di essi superi 148,8 kg. Arrotonda z a due decimali.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 6> 148,8 kg

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di i pesi dei sacchetti sono distribuiti normalmente con media 250 g e deviazione standard 5 g. Trascina la soglia in modo che il 20% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.

μ = 250 gσ = 5 g20%

x = g

7.Intervalli di confidenzaMedia

La pressione arteriosa di 10 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media −5,6 e deviazione standard 1,9. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90% per la differenza media.

n = 10d̄ = −5,6s_d = 1,990%t(9) = 1,833

limite inferiore = mmHg

8.Intervalli di confidenzaDifficile

Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 6 parcelle, resa media 94 kg, deviazione standard 8,5 kg. Gruppo di parcelle 2: 6 parcelle, media 98 kg, deviazione standard 9 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 94s₁ = 8,5n₂ = 6x̄₂ = 98s₂ = 999%t(10) = 3,169

limite superiore = kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Due linee di produzione fabbricano lo stesso pezzo. Linea 1: un campione di 40 pezzi ha lunghezza media 84 mm, e la deviazione standard nota della linea è 7 mm. Linea 2: un campione di 30 pezzi ha media 80,6 mm, deviazione standard nota 20 mm. Trova la statistica test z per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (linea 1 meno linea 2).

n₁ = 40x̄₁ = 84 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 30x̄₂ = 80,6 mmσ₂ = 20 mm

z =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 16 misure ha media 96,7. La deviazione standard della popolazione è 12. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 95 % per la media.

x̄ = 96,7σ = 12n = 1695%

U =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 6Σx = 27Σy = 295Σx² = 139Σy² = 14813Σxy = 1399

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 2,5.

n = 6x = 2,5

ŷ =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 16,72

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 183/7 = 26,14

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−1,143)² + (−14,14)² + 32,86² + 1,857² + (−13,14)² + 6,857² + (−13,14)² = 1677

Deviazione standard

s = √(1677/6) = 16,72

Risposta

s = 16,72

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,9332

Standardizza

z = −1,5

Tavola della normale standard

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Risposta

P = 0,9332

3.Probabilità

Risposta: P = 0,5981

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Risposta

P = 0,5981

4.Probabilità

Risposta: E(G) = −0,7 €

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Esiti netti

G: 1 (p = 0,1), 9 (p = 0,01), −1 (p = 0,89)

Valore atteso

E(G) = 1·0,1 + 9·0,01 − 1·0,89 = −0,7 €

Risposta

E(G) = −0,7 €

Un valore negativo significa che in media perdi denaro.

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,8365

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione del totale

μ_T = 150 kg, σ_T = 0,5·√6 = 1,225 kg

Standardizza

z = (148,8 − 150)/1,225 = −0,98

Probabilità

P = 1 − Φ(−0,98) = 0,8365

Risposta

P = 0,8365

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 245,8 g

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra

Φ(z) = 0,2

z dalla tabella

z ≈ −0,84

Di nuovo nelle unità originali

x = 250 − 0,84·5 = 245,8 g

Risposta

x = 245,8 g

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = −6,701 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valore critico

df = 9, t = 1,833

Margine di errore

E = 1,833·1,9/√10 = 1,101

Intervallo

−5,6 ± 1,101 → [−6,701, −4,499]

Risposta

limite inferiore = −6,701 mmHg

8.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 12,02 kg

Deviazione standard combinata

s_p² = (5·8,5² + 5·9²)/10 = 76,63

s_p = 8,754

Margine di errore

E = 3,169·8,754·√(1/6 + 1/6) = 16,02

Intervallo

−4 ± 16,02 → [−20,02, 12,02]

Risposta

limite superiore = 12,02 kg

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: z = 0,8911

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Errore standard della differenza

SE = √(7²/40 + 20²/30) = √14,56 = 3,816

Statistica test

z = (84 − 80,6)/3,816 = 0,8911

Risposta

z = 0,8911

|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: U = 102,6

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Margine di errore

E = 1,96·12/√16 = 5,88

Limite dell'intervallo

U = 96,7 + 5,88 = 102,6

Risposta

U = 102,6

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9726

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 1399 − 27·295/6 = 71,5

S_xx = 139 − 27²/6 = 17,5

S_yy = 14813 − 295²/6 = 308,8

Coefficiente di correlazione

r = 71,5/√(17,5·308,8) = 0,9726

Risposta

r = 0,9726

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: ŷ = 57,38

Medie

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 431/6 = 71,83

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126,5

Retta di regressione

b = 126,5/17,5 = 7,229

a = 71,83 − 7,229·4,5 = 39,3

ŷ = 39,3 + 7,229·x

Previsione

ŷ = 39,3 + 7,229·2,5 = 57,38

Risposta

ŷ = 57,38

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1