Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 32, 13, 33, 18, 36, 15, 28.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 20. Quale proporzione P dei valori è superiore a 84?

μ = 100σ = 20x = 84

P =

3.ProbabilitàMedia

In quanti modi N si può scegliere un comitato di 5 persone da un gruppo di 7? L'ordine non conta.

n = 7k = 5

N =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 11 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,4, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 11p = 0,4

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Quale frazione è compresa tra 50 e 83,5 punti? Dai P come numero decimale.

μ = 65σ = 10x₁ = 50x₂ = 83,5

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Trova il valore x sotto il quale si trova il 95 % dei dati (il 95° percentile).

μ = 178σ = 7P = 95%

x = cm

7.Intervalli di confidenzaMedia

La pressione arteriosa di 20 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media 9,5 e deviazione standard 0,8. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90% per la differenza media.

n = 20d̄ = 9,5s_d = 0,890%t(19) = 1,729

limite inferiore = mmHg

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 12. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2,5?

σ = 12E = 2,595%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 16 studenti ha un punteggio medio di 107 e una deviazione standard campionaria di 20. Trova la statistica test t per H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 107s = 20n = 16

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 25 misure ha media 48,1. La deviazione standard della popolazione è 4. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.

x̄ = 48,1σ = 4n = 2599%

U =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 5

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 26?

n = 5ŷ = 26

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 9,452

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 175/7 = 25

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 7² + (−12)² + 8² + (−7)² + 11² + (−10)² + 3² = 536

Deviazione standard

s = √(536/6) = 9,452

Risposta

s = 9,452

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,7881

Standardizza

z = −0,8

Tavola della normale standard

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Risposta

P = 0,7881

3.Probabilità

Risposta: N = 21

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinazioni

C(7, 5) = (7·6·5·4·3)/(5·4·3·2·1) = 21

Risposta

N = 21

4.Probabilità

Risposta: P = 0,03023

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,6¹¹ = 0,003628

P(X = 1) = 11·0,4·0,6¹⁰ = 0,02661

Sommale

P = 0,003628 + 0,02661 = 0,03023

Risposta

P = 0,03023

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,901

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (50 − 65)/10 = −1,5

z₂ = (83,5 − 65)/10 = 1,85

Area compresa

P = Φ(1,85) − Φ(−1,5) = 0,9678 − 0,06681 = 0,901

Risposta

P = 0,901

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 189,5 cm

z del percentile

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Ritorno a x

x = 178 + 1,645·7 = 189,51 cm

Risposta

x = 189,51 cm

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = 9,191 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valore critico

df = 19, t = 1,729

Margine di errore

E = 1,729·0,8/√20 = 0,3093

Intervallo

9,5 ± 0,3093 → [9,191, 9,809]

Risposta

limite inferiore = 9,191 mmHg

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 89

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Ricava n

n = (1,96·12/2,5)² = 88,51

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 89

Risposta

n = 89

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −2,6

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

Statistica test

t = (107 − 120)/5 = −2,6

Risposta

t = −2,6

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: U = 50,16

Margine di errore

E = 2,576·4/√25 = 2,061

Limite dell'intervallo

U = 48,1 + 2,061 = 50,16

Risposta

U = 50,16

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9844

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 390/5 = 78

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 244

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1536

Coefficiente di correlazione

r = 244/√(40·1536) = 0,9844

Risposta

r = 0,9844

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 1,444

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 116/5 = 23,2

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −18

Retta di regressione

b = −18/10 = −1,8

a = 23,2 − (−1,8)·3 = 28,6

ŷ = 28,6 − 1,8·x

Risolvi per x

x = (26 − 28,6)/(−1,8) = 1,444

Risposta

x = 1,444

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