Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 29, 44, 21, 36, 30.

n = 5

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 15. Quale proporzione P dei valori è superiore a 79?

μ = 70σ = 15x = 79

P =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,2, 0,2, 0,2, 0,3

Var(X) =

4.ProbabilitàDifficile

Un test ha 12 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,1, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 2 risposte corrette?

n = 12p = 0,1k = 2

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Quale frazione è compresa tra 50 e 70,5 punti? Dai P come numero decimale.

μ = 65σ = 10x₁ = 50x₂ = 70,5

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Trova il valore x sotto il quale si trova il 25 % dei dati (il 25° percentile).

μ = 65σ = 10P = 25%

x = punti

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 15 elementi ha media 48,5 e deviazione standard s = 14. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.

n = 15x̄ = 48,5s = 1490%t(14) = 1,761

limite inferiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 18. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1,5?

σ = 18E = 1,595%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Due linee di produzione fabbricano lo stesso pezzo. Linea 1: un campione di 40 pezzi ha lunghezza media 76 mm, e la deviazione standard nota della linea è 20 mm. Linea 2: un campione di 50 pezzi ha media 87,1 mm, deviazione standard nota 17 mm. Trova la statistica test z per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (linea 1 meno linea 2).

n₁ = 40x̄₁ = 76 mmσ₁ = 20 mmn₂ = 50x̄₂ = 87,1 mmσ₂ = 17 mm

z =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

In una sperimentazione, 35 pazienti su 100 con il trattamento A guariscono, e 50 su 120 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 35n₁ = 100x₂ = 50n₂ = 120

z =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 6Σx = 42Σy = 164Σx² = 364Σy² = 5444Σxy = 1406

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 37?

n = 6ŷ = 37

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 8,573

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 160/5 = 32

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−3)² + 12² + (−11)² + 4² + (−2)² = 294

Deviazione standard

s = √(294/4) = 8,573

Risposta

s = 8,573

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,2743

Standardizza

z = 0,6

Tavola della normale standard

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Risposta

P = 0,2743

3.Probabilità

Risposta: Var(X) = 1,84

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 0·0,1 + 1·0,2 + 2·0,2 + 3·0,2 + 4·0,3 = 2,4

Media dei quadrati

E(X²) = 0·0,1 + 1·0,2 + 4·0,2 + 9·0,2 + 16·0,3 = 7,6

Varianza

Var(X) = 7,6 − 2,4² = 1,84

Risposta

Var(X) = 1,84

4.Probabilità

Risposta: P = 0,2301

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomiale

P(X = 2) = 66·0,1²·0,9¹⁰ = 66·0,01·0,3487 = 0,2301

Risposta

P = 0,2301

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,642

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (50 − 65)/10 = −1,5

z₂ = (70,5 − 65)/10 = 0,55

Area compresa

P = Φ(0,55) − Φ(−1,5) = 0,7088 − 0,06681 = 0,642

Risposta

P = 0,642

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 58,26 punti

z del percentile

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Ritorno a x

x = 65 + −0,6745·10 = 58,26 punti

Risposta

x = 58,26 punti

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = 42,13

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 14, t = 1,761

Margine di errore

E = 1,761·14/√15 = 6,366

Intervallo

48,5 ± 6,366 → [42,13, 54,87]

Risposta

limite inferiore = 42,13

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 554

Ricava n

n = (1,96·18/1,5)² = 553,2

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 554

Risposta

n = 554

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: z = −2,794

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Errore standard della differenza

SE = √(20²/40 + 17²/50) = √15,78 = 3,972

Statistica test

z = (76 − 87,1)/3,972 = −2,794

Risposta

z = −2,794

|z| > 1,96, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: z = −1,011

Proporzioni campionarie

p̂₁ = 35/100 = 0,35

p̂₂ = 50/120 = 0,4167

p̂ = 85/220 = 0,3864

Errore standard sotto H₀

SE = √(0,3864·0,6136·(1/100 + 1/120)) = 0,06593

Statistica test

z = (0,35 − 0,4167)/0,06593 = −1,011

Risposta

z = −1,011

|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9946

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 1406 − 42·164/6 = 258

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 5444 − 164²/6 = 961,3

Coefficiente di correlazione

r = 258/√(70·961,3) = 0,9946

Risposta

r = 0,9946

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 2,417

Medie

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 292/6 = 48,67

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98

Retta di regressione

b = 98/17,5 = 5,6

a = 48,67 − 5,6·4,5 = 23,47

ŷ = 23,47 + 5,6·x

Risolvi per x

x = (37 − 23,47)/5,6 = 2,417

Risposta

x = 2,417

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