Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 51, 46, 25, 40, 48, 38.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 75. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 593,8?

μ = 500σ = 75x = 593,8

P =

3.ProbabilitàMedia

Si lancia un dado equo 3 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 3

P =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 11 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,25, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 11p = 0,25

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Quale frazione è compresa tra 171,35 e 192 cm? Dai P come numero decimale.

μ = 178σ = 7x₁ = 171,35x₂ = 192

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di i voti di un esame sono distribuiti normalmente con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Trascina la soglia in modo che il 25% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.

μ = 65 puntiσ = 10 punti25%

x = punti

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un intervallo di confidenza al 95% per una media, basato su 25 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 5,1. Qual è il margine di errore E₂ se lo stesso studio usa invece 100 osservazioni?

95%n₁ = 25E₁ = 5,1n₂ = 100

E₂ =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

I diametri di 10 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 1,2 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite inferiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 9, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 2,7 e il 2,5% sopra 19,023.

n = 10s = 1,2 µmχ² = 2,7, 19,023

σ = µm

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 503,2 e una deviazione standard campionaria di 8. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 503,2s = 8n = 36

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 25 misure ha media 102,7. La deviazione standard della popolazione è 15. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 95 % per la media.

x̄ = 102,7σ = 15n = 2595%

U =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (5, 64). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 5(5, 64)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 9,374

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 248/6 = 41,33

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 9,667² + 4,667² + (−16,33)² + (−1,333)² + 6,667² + (−3,333)² = 439,3

Deviazione standard

s = √(439,3/5) = 9,374

Risposta

s = 9,374

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,8944

Standardizza

z = 1,25

Tavola della normale standard

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Risposta

P = 0,8944

3.Probabilità

Risposta: P = 0,4213

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Risposta

P = 0,4213

4.Probabilità

Risposta: P = 0,1971

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,75¹¹ = 0,04224

P(X = 1) = 11·0,25·0,75¹⁰ = 0,1549

Sommale

P = 0,04224 + 0,1549 = 0,1971

Risposta

P = 0,1971

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,8062

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (171,35 − 178)/7 = −0,95

z₂ = (192 − 178)/7 = 2

Area compresa

P = Φ(2) − Φ(−0,95) = 0,9772 − 0,1711 = 0,8062

Risposta

P = 0,8062

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 71,7 punti

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra

Φ(z) = 0,75

z dalla tabella

z ≈ 0,67

Di nuovo nelle unità originali

x = 65 + 0,67·10 = 71,7 punti

Risposta

x = 71,7 punti

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E₂ = 2,55

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Rapporto dei margini

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(25/100) = 0,5

Nuovo margine

E₂ = 5,1·0,5 = 2,55

Risposta

E₂ = 2,55

8.Intervalli di confidenza

Risposta: σ = 0,8254 µm

Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.

Somma dei quadrati

(n − 1)s² = 9·1,2² = 12,96

Limiti per σ²

12,96/19,023 = 0,6813

12,96/2,7 = 4,8

Limite per σ

σ = √0,6813 = 0,8254 µm

Risposta

σ = 0,8254 µm

Intervallo al 95% per σ: [0,8254, 2,191] µm.

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 2,4

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333

Statistica test

t = (503,2 − 500)/1,333 = 2,4

Risposta

t = 2,4

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: U = 108,6

Margine di errore

E = 1,96·15/√25 = 5,88

Limite dell'intervallo

U = 102,7 + 5,88 = 108,6

Risposta

U = 108,6

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = −0,9271

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 129/6 = 21,5

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −37,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 93,5

Coefficiente di correlazione

r = −37,5/√(17,5·93,5) = −0,9271

Risposta

r = −0,9271

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = 2,25

Medie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 324/5 = 64,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 122

Retta di regressione

b = 122/40 = 3,05

a = 64,8 − 3,05·6 = 46,5

ŷ = 46,5 + 3,05·x

Valore previsto

ŷ = 46,5 + 3,05·5 = 61,75

Residuo

e = 64 − 61,75 = 2,25

Risposta

e = 2,25

Il punto si trova sopra la retta.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1