Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 49, 41, 49, 58, 54, 59.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 20. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 190?

μ = 170σ = 20x = 190

P =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,1, 0,35, 0,3

Var(X) =

4.ProbabilitàDifficile

Giocare a un gioco costa 10 €. Si vincono 40 € con probabilità 0,25 e 100 € con probabilità 0,01; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.

posta = €10€40: p = 0,25€100: p = 0,01

E(G) = €

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,3255. Trova z con due decimali.

A = 0,3255

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di le durate delle batterie sono distribuiti normalmente con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trascina la soglia in modo che il 5% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.

μ = 500 hσ = 40 h5%

x = h

7.Intervalli di confidenzaMedia

Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 40 telefoni, media 135,5 h, deviazione standard nota 14 h. Modello 2: 30 telefoni, media 133,5 h, deviazione standard nota 19 h. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 135,5 hσ₁ = 14 hn₂ = 30x̄₂ = 133,5 hσ₂ = 19 h95%

limite inferiore = h

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 34. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1,5?

σ = 34E = 1,595%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 49 studenti ha un punteggio medio di 116,9 e una deviazione standard campionaria di 12. Trova la statistica test t per H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 116,9s = 12n = 49

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 90 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 3? La deviazione standard è 10. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 10E = 390%

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (5,5, 21). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 6(5,5, 21)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 6,743

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 310/6 = 51,67

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−2,667)² + (−10,67)² + (−2,667)² + 6,333² + 2,333² + 7,333² = 227,3

Deviazione standard

s = √(227,3/5) = 6,743

Risposta

s = 6,743

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,8413

Standardizza

z = 1

Tavola della normale standard

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Risposta

P = 0,8413

3.Probabilità

Risposta: Var(X) = 1,31

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 1·0,25 + 2·0,1 + 3·0,35 + 4·0,3 = 2,7

Media dei quadrati

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,1 + 9·0,35 + 16·0,3 = 8,6

Varianza

Var(X) = 8,6 − 2,7² = 1,31

Risposta

Var(X) = 1,31

4.Probabilità

Risposta: E(G) = 1 €

Esiti netti

G: 30 (p = 0,25), 90 (p = 0,01), −10 (p = 0,74)

Valore atteso

E(G) = 30·0,25 + 90·0,01 − 10·0,74 = 1 €

Risposta

E(G) = 1 €

Un valore positivo significa che in media guadagni denaro.

5.Distribuzione normale

Risposta: z = 0,42

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = (1 + 0,3255)/2 = 0,6628

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,6628 dentro la tabella e leggi z.

z = 0,42

Risposta

z = 0,42

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 434 h

Area a sinistra

Φ(z) = 0,05

z dalla tabella

z ≈ −1,64

Di nuovo nelle unità originali

x = 500 − 1,64·40 = 434 h

Risposta

x = 434 h

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = −6,065 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Stima puntuale

x̄₁ − x̄₂ = 135,5 − 133,5 = 2

Errore standard

SE = √(14²/40 + 19²/30) = 4,115

Margine di errore

E = 1,96·4,115 = 8,065

Intervallo

2 ± 8,065 → [−6,065, 10,07]

Risposta

limite inferiore = −6,065 h

L’intervallo contiene 0, quindi i dati non mostrano una differenza significativa.

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 1974

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Ricava n

n = (1,96·34/1,5)² = 1974

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 1974

Risposta

n = 1974

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −1,808

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714

Statistica test

t = (116,9 − 120)/1,714 = −1,808

Risposta

t = −1,808

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 31

Ricava n

n = (1,645·10/3)² = 30,07

Arrotonda per eccesso

n = 31

Risposta

n = 31

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,997

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 169/6 = 28,17

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 305

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1337

Coefficiente di correlazione

r = 305/√(70·1337) = 0,997

Risposta

r = 0,997

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = 4,229

Medie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 126/6 = 21

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −37

Retta di regressione

b = −37/17,5 = −2,114

a = 21 − (−2,114)·3,5 = 28,4

ŷ = 28,4 − 2,114·x

Valore previsto

ŷ = 28,4 + (−2,114)·5,5 = 16,77

Residuo

e = 21 − 16,77 = 4,229

Risposta

e = 4,229

Il punto si trova sopra la retta.

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