Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 33, 60, 29, 12, 55, 56, 54.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 5. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 103?

μ = 100σ = 5x = 103

P =

3.ProbabilitàMedia

In quanti modi N si può scegliere un comitato di 3 persone da un gruppo di 15? L'ordine non conta.

n = 15k = 3

N =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 12 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,7, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 12p = 0,7

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,2148. Trova z con due decimali.

A = 0,2148

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che i punteggi del QI abbiano una distribuzione normale con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Trova il valore x sotto il quale si trova il 90 % dei dati (il 90° percentile).

μ = 100σ = 15P = 90%

x = punti

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 30 elementi ha media 20,5 e deviazione standard s = 5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 99 % per la media.

n = 30x̄ = 20,5s = 599%t(29) = 2,756

E =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

I diametri di 16 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 6,3 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite superiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 15, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 6,262 e il 2,5% sopra 27,488.

n = 16s = 6,3 µmχ² = 6,262, 27,488

σ = µm

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Si confrontano due metodi didattici. Gruppo 1: 6 studenti, punteggio medio 67,5, deviazione standard 3. Gruppo 2: 10 studenti, punteggio medio 61,1, deviazione standard 10. Supponi varianze della popolazione uguali e usa il test t a due campioni con varianza combinata. Trova la statistica test t per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (gruppo 1 meno gruppo 2).

n₁ = 6x̄₁ = 67,5s₁ = 3n₂ = 10x̄₂ = 61,1s₂ = 10

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 64 misure ha media 121,9. La deviazione standard della popolazione è 10. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.

x̄ = 121,9σ = 10n = 6490%

L =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 6

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (9, 87). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 5(9, 87)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 18,16

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 299/7 = 42,71

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−9,714)² + 17,29² + (−13,71)² + (−30,71)² + 12,29² + 13,29² + 11,29² = 1979

Deviazione standard

s = √(1979/6) = 18,16

Risposta

s = 18,16

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,7257

Standardizza

z = 0,6

Tavola della normale standard

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Risposta

P = 0,7257

3.Probabilità

Risposta: N = 455

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinazioni

C(15, 3) = (15·14·13)/(3·2·1) = 455

Risposta

N = 455

4.Probabilità

Risposta: P = 1,541 × 10⁻⁵

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,3¹² = 5,314 × 10⁻⁷

P(X = 1) = 12·0,7·0,3¹¹ = 1,488 × 10⁻⁵

Sommale

P = 5,314 × 10⁻⁷ + 1,488 × 10⁻⁵ = 1,541 × 10⁻⁵

Risposta

P = 1,541 × 10⁻⁵

5.Distribuzione normale

Risposta: z = 0,79

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = 1 − 0,2148 = 0,7852

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,7852 dentro la tabella e leggi z.

z = 0,79

Risposta

z = 0,79

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 119,2 punti

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

z del percentile

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Ritorno a x

x = 100 + 1,282·15 = 119,22 punti

Risposta

x = 119,22 punti

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 2,516

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 29, t = 2,756

Margine di errore

E = 2,756·5/√30 = 2,516

Risposta

E = 2,516

8.Intervalli di confidenza

Risposta: σ = 9,751 µm

Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.

Somma dei quadrati

(n − 1)s² = 15·6,3² = 595,4

Limiti per σ²

595,4/27,488 = 21,66

595,4/6,262 = 95,07

Limite per σ

σ = √95,07 = 9,751 µm

Risposta

σ = 9,751 µm

Intervallo al 95% per σ: [4,654, 9,751] µm.

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 1,508

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varianza combinata

s_p² = (5·3² + 9·10²)/14 = 67,5

s_p = 8,216

Errore standard

SE = 8,216·√(1/6 + 1/10) = 4,243

Statistica test

t = (67,5 − 61,1)/4,243 = 1,508

Risposta

t = 1,508

Con df = 14, il valore critico bilaterale al 5% è 2,145; |t| è minore, quindi H₀ non viene rifiutata.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: L = 119,8

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Margine di errore

E = 1,645·10/√64 = 2,056

Limite dell'intervallo

L = 121,9 − 2,056 = 119,8

Risposta

L = 119,8

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,8833

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 113/6 = 18,83

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 38,83

Coefficiente di determinazione

r² = −24,5²/(17,5·38,83) = 0,8833

Risposta

r² = 0,8833

Circa il 88,33% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = 1,55

Medie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 362/5 = 72,4

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 174

Retta di regressione

b = 174/40 = 4,35

a = 72,4 − 4,35·6 = 46,3

ŷ = 46,3 + 4,35·x

Valore previsto

ŷ = 46,3 + 4,35·9 = 85,45

Residuo

e = 87 − 85,45 = 1,55

Risposta

e = 1,55

Il punto si trova sopra la retta.

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