Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 36, 30, 54, 50, 31, 60, 11.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 8. Quale proporzione P dei valori è superiore a 112?

μ = 100σ = 8x = 112

P =

3.ProbabilitàMedia

Un sacchetto contiene 4 palline rosse e 9 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?

4 / 9

P =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 7 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,2, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 7p = 0,2

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Quale frazione è compresa tra 32 e 38 min? Dai P come numero decimale.

μ = 32σ = 6x₁ = 32x₂ = 38

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di le durate delle batterie sono distribuiti normalmente con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trascina la soglia in modo che il 80% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.

μ = 500 hσ = 40 h80%

x = h

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 9 elementi ha media 114 e deviazione standard s = 18. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 95 % per la media.

n = 9x̄ = 114s = 1895%t(8) = 2,306

limite superiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 17. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 3?

σ = 17E = 395%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 509,7 e una deviazione standard campionaria di 20. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 509,7s = 20n = 36

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 95 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 2? La deviazione standard è 8. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 8E = 295%

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 5

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 10.

n = 6x = 10

ŷ =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 16,96

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 272/7 = 38,86

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−2,857)² + (−8,857)² + 15,14² + 11,14² + (−7,857)² + 21,14² + (−27,86)² = 1725

Deviazione standard

s = √(1725/6) = 16,96

Risposta

s = 16,96

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,06681

Standardizza

z = 1,5

Tavola della normale standard

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Risposta

P = 0,06681

3.Probabilità

Risposta: P = 0,07692

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Prima e seconda estrazione

P = 4/13 · 3/12 = 12/156 = 0,07692

Risposta

P = 0,07692

4.Probabilità

Risposta: P = 0,5767

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,8⁷ = 0,2097

P(X = 1) = 7·0,2·0,8⁶ = 0,367

Sommale

P = 0,2097 + 0,367 = 0,5767

Risposta

P = 0,5767

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,3413

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (32 − 32)/6 = 0

z₂ = (38 − 32)/6 = 1

Area compresa

P = Φ(1) − Φ(0) = 0,8413 − 0,5 = 0,3413

Risposta

P = 0,3413

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 466 h

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra

Φ(z) = 0,2

z dalla tabella

z ≈ −0,84

Di nuovo nelle unità originali

x = 500 − 0,84·40 = 466 h

Risposta

x = 466 h

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 127,8

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Margine di errore

E = 2,306·18/√9 = 13,84

Intervallo

114 ± 13,84 → [100,2, 127,8]

Risposta

limite superiore = 127,8

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 124

Ricava n

n = (1,96·17/3)² = 123,4

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 124

Risposta

n = 124

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 2,91

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333

Statistica test

t = (509,7 − 500)/3,333 = 2,91

Risposta

t = 2,91

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 62

Ricava n

n = (1,96·8/2)² = 61,47

Arrotonda per eccesso

n = 62

Risposta

n = 62

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,9906

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 134/5 = 26,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 148

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 552,8

Coefficiente di determinazione

r² = 148²/(40·552,8) = 0,9906

Risposta

r² = 0,9906

Circa il 99,06% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: ŷ = 73,31

Medie

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 348/6 = 58

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 268

Retta di regressione

b = 268/70 = 3,829

a = 58 − 3,829·6 = 35,03

ŷ = 35,03 + 3,829·x

Previsione

ŷ = 35,03 + 3,829·10 = 73,31

Risposta

ŷ = 73,31

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