Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 48, 46, 60, 32, 54, 19.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 8. Trova il punteggio z z di un voto pari a 54.

μ = 70σ = 8x = 54

z =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,35, 0,15, 0,2

Var(X) =

4.ProbabilitàDifficile

X ha la distribuzione mostrata e Y = 2X + 10. Trova la deviazione standard σ_Y di Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,25, 0,3, 0,15, 0,05Y = 2X + 10

σ_Y =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,9371. Trova z con due decimali.

A = 0,9371

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Trova il valore x sotto il quale si trova il 25 % dei dati (il 25° percentile).

μ = 32σ = 6P = 25%

x = min

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 20 elementi ha media 78 e deviazione standard s = 7,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 99 % per la media.

n = 20x̄ = 78s = 7,599%t(19) = 2,861

limite inferiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 36. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2?

σ = 36E = 299%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 81 studenti ha un punteggio medio di 98,5 e una deviazione standard campionaria di 15. Trova la statistica test t per H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 98,5s = 15n = 81

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 95 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 2,5? La deviazione standard è 4. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 4E = 2,595%

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 5

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 54?

n = 5ŷ = 54

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 15,11

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 259/6 = 43,17

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 4,833² + 2,833² + 16,83² + (−11,17)² + 10,83² + (−24,17)² = 1141

Deviazione standard

s = √(1141/5) = 15,11

Risposta

s = 15,11

2.Statistica descrittiva

Risposta: z = −2

Standardizza

z = (54 − 70)/8 = −2

Risposta

z = −2

3.Probabilità

Risposta: Var(X) = 118,8

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 10·0,3 + 20·0,35 + 30·0,15 + 40·0,2 = 22,5

Media dei quadrati

E(X²) = 100·0,3 + 400·0,35 + 900·0,15 + 1600·0,2 = 625

Varianza

Var(X) = 625 − 22,5² = 118,8

Risposta

Var(X) = 118,8

4.Probabilità

Risposta: σ_Y = 2,324

Dispersione di X

μ = 1,5, Var(X) = 1,35, σ_X = 1,162

Trasformazione lineare

σ_Y = |2|·1,162 = 2,324

Risposta

σ_Y = 2,324

La media invece si sposta: E(Y) = 2·1,5 + 10 = 13.

5.Distribuzione normale

Risposta: z = 1,86

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = (1 + 0,9371)/2 = 0,9686

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,9686 dentro la tabella e leggi z.

z = 1,86

Risposta

z = 1,86

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 27,95 min

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

z del percentile

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Ritorno a x

x = 32 + −0,6745·6 = 27,95 min

Risposta

x = 27,95 min

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = 73,2

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 19, t = 2,861

Margine di errore

E = 2,861·7,5/√20 = 4,798

Intervallo

78 ± 4,798 → [73,2, 82,8]

Risposta

limite inferiore = 73,2

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 2150

Ricava n

n = (2,576·36/2)² = 2150

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 2150

Risposta

n = 2150

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −0,9

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 15/√81 = 15/9 = 1,667

Statistica test

t = (98,5 − 100)/1,667 = −0,9

Risposta

t = −0,9

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 10

Ricava n

n = (1,96·4/2,5)² = 9,834

Arrotonda per eccesso

n = 10

Risposta

n = 10

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = −0,8944

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 125/5 = 25

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −4

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2

Coefficiente di correlazione

r = −4/√(10·2) = −0,8944

Risposta

r = −0,8944

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 4,44

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 234/5 = 46,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 50

Retta di regressione

b = 50/10 = 5

a = 46,8 − 5·3 = 31,8

ŷ = 31,8 + 5·x

Risolvi per x

x = (54 − 31,8)/5 = 4,44

Risposta

x = 4,44

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