Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 51, 14, 26, 41, 54, 34.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 20. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 72?

μ = 60σ = 20x = 72

P =

3.ProbabilitàMedia

In quanti modi N si può scegliere un comitato di 4 persone da un gruppo di 11? L'ordine non conta.

n = 11k = 4

N =

4.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 9 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,3, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 9p = 0,3

P =

5.Distribuzione normaleMedia

Le masse di passeggeri con bagaglio sono indipendenti e normali con media 85 kg e deviazione standard 12 kg. Trova la probabilità P che la massa totale di 5 di essi superi 384,8 kg. Arrotonda z a due decimali.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5> 384,8 kg

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Il tempo sul giro X del corridore A e il tempo sul giro Y del corridore B sono indipendenti e normali: X ha media 52 s e deviazione standard 4 s, Y ha media 48 s e deviazione standard 3 s. Trova la probabilità P che X sia maggiore di Y. Arrotonda z a due decimali.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un intervallo di confidenza al 90% per una media, basato su 64 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 10. Qual è il margine di errore E₂ di un intervallo al 95% basato su 256 osservazioni?

90%n₁ = 64E₁ = 1095%n₂ = 256

E₂ =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

Uno studio pilota indica che circa 0,4 dei prodotti sono difettosi. Quanti prodotti n si devono ispezionare perché un intervallo di confidenza al 95% per la proporzione abbia un margine di errore di al massimo 0,025?

p ≈ 0,4E = 0,02595%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 81 studenti ha un punteggio medio di 77,67 e una deviazione standard campionaria di 10. Trova la statistica test t per H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 77,67s = 10n = 81

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 99 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 2,5? La deviazione standard è 12. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 12E = 2,599%

n =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 5

r² =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 18,5.

n = 5x = 18,5

ŷ =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 15,23

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 220/6 = 36,67

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 14,33² + (−22,67)² + (−10,67)² + 4,333² + 17,33² + (−2,667)² = 1159

Deviazione standard

s = √(1159/5) = 15,23

Risposta

s = 15,23

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,7257

Standardizza

z = 0,6

Tavola della normale standard

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Risposta

P = 0,7257

3.Probabilità

Risposta: N = 330

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinazioni

C(11, 4) = (11·10·9·8)/(4·3·2·1) = 330

Risposta

N = 330

4.Probabilità

Risposta: P = 0,196

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,7⁹ = 0,04035

P(X = 1) = 9·0,3·0,7⁸ = 0,1556

Sommale

P = 0,04035 + 0,1556 = 0,196

Risposta

P = 0,196

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,9332

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione del totale

μ_T = 425 kg, σ_T = 12·√5 = 26,83 kg

Standardizza

z = (384,8 − 425)/26,83 = −1,5

Probabilità

P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332

Risposta

P = 0,9332

6.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,7881

Distribuzione della differenza

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standardizza

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Probabilità

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Risposta

P = 0,7881

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E₂ = 5,957

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Rapporto dei margini

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(64/256) = 0,5957

Nuovo margine

E₂ = 10·0,5957 = 5,957

Risposta

E₂ = 5,957

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 1476

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Ricava n

n = 1,96²·0,4·0,6/0,025² = 1475

Arrotonda per eccesso

n = 1476

Risposta

n = 1476

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 2,403

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111

Statistica test

t = (77,67 − 75)/1,111 = 2,403

Risposta

t = 2,403

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 153

Ricava n

n = (2,576·12/2,5)² = 152,9

Arrotonda per eccesso

n = 153

Risposta

n = 153

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,8804

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 111/5 = 22,2

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 82,8

Coefficiente di determinazione

r² = −27²/(10·82,8) = 0,8804

Risposta

r² = 0,8804

Circa il 88,04% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: ŷ = 68,25

Medie

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 438/5 = 87,6

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 387

Retta di regressione

b = 387/90 = 4,3

a = 87,6 − 4,3·23 = −11,3

ŷ = −11,3 + 4,3·x

Previsione

ŷ = −11,3 + 4,3·18,5 = 68,25

Risposta

ŷ = 68,25

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