Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 42, 22, 14, 42, 50, 59.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 15. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 106?

μ = 100σ = 15x = 106

P =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,2, 0,1, 0,35, 0,15

Var(X) =

4.ProbabilitàDifficile

Giocare a un gioco costa 1 €. Si vincono 4 € con probabilità 0,2 e 50 € con probabilità 0,05; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.

posta = €1€4: p = 0,2€50: p = 0,05

E(G) = €

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Quale frazione è compresa tra 245 e 252,5 g? Dai P come numero decimale.

μ = 250σ = 5x₁ = 245x₂ = 252,5

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che i punteggi del QI abbiano una distribuzione normale con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Trova il valore x sotto il quale si trova il 10 % dei dati (il 10° percentile).

μ = 100σ = 15P = 10%

x = punti

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 20 elementi ha media 33 e deviazione standard s = 2. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.

n = 20x̄ = 33s = 290%t(19) = 1,729

limite superiore =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 19. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 4?

σ = 19E = 495%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

16 dipendenti svolgono un test di dattilografia prima e dopo un corso di formazione. Per ogni persona si registra la differenza d = dopo − prima (parole al minuto). La differenza media è −4,81 e la deviazione standard delle differenze è 5,2. Trova la statistica test per dati appaiati t per H₀: μ_d = 0.

n = 16d̄ = −4,81s_d = 5,2

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 16 misure ha media 35,5. La deviazione standard della popolazione è 20. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.

x̄ = 35,5σ = 20n = 1699%

U =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 1,5.

n = 5x = 1,5

ŷ =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 17,02

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 229/6 = 38,17

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 3,833² + (−16,17)² + (−24,17)² + 3,833² + 11,83² + 20,83² = 1449

Deviazione standard

s = √(1449/5) = 17,02

Risposta

s = 17,02

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,6554

Standardizza

z = 0,4

Tavola della normale standard

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Risposta

P = 0,6554

3.Probabilità

Risposta: Var(X) = 1,948

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 0·0,2 + 1·0,2 + 2·0,1 + 3·0,35 + 4·0,15 = 2,05

Media dei quadrati

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,2 + 4·0,1 + 9·0,35 + 16·0,15 = 6,15

Varianza

Var(X) = 6,15 − 2,05² = 1,948

Risposta

Var(X) = 1,948

4.Probabilità

Risposta: E(G) = 2,3 €

Esiti netti

G: 3 (p = 0,2), 49 (p = 0,05), −1 (p = 0,75)

Valore atteso

E(G) = 3·0,2 + 49·0,05 − 1·0,75 = 2,3 €

Risposta

E(G) = 2,3 €

Un valore positivo significa che in media guadagni denaro.

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,5328

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (245 − 250)/5 = −1

z₂ = (252,5 − 250)/5 = 0,5

Area compresa

P = Φ(0,5) − Φ(−1) = 0,6915 − 0,1587 = 0,5328

Risposta

P = 0,5328

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 80,78 punti

z del percentile

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Ritorno a x

x = 100 + −1,282·15 = 80,78 punti

Risposta

x = 80,78 punti

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 33,77

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 19, t = 1,729

Margine di errore

E = 1,729·2/√20 = 0,7732

Intervallo

33 ± 0,7732 → [32,23, 33,77]

Risposta

limite superiore = 33,77

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 87

Ricava n

n = (1,96·19/4)² = 86,68

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 87

Risposta

n = 87

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −3,7

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Errore standard della differenza media

SE = 5,2/√16 = 1,3

Statistica test

t = −4,81/1,3 = −3,7

Risposta

t = −3,7

Con df = 15, il valore critico bilaterale al 5% è 2,131; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: U = 48,38

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Margine di errore

E = 2,576·20/√16 = 12,88

Limite dell'intervallo

U = 35,5 + 12,88 = 48,38

Risposta

U = 48,38

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = −0,9777

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 113/6 = 18,83

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −56,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 190,8

Coefficiente di correlazione

r = −56,5/√(17,5·190,8) = −0,9777

Risposta

r = −0,9777

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: ŷ = 21,45

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 93/5 = 18,6

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19

Retta di regressione

b = −19/10 = −1,9

a = 18,6 − (−1,9)·3 = 24,3

ŷ = 24,3 − 1,9·x

Previsione

ŷ = 24,3 + (−1,9)·1,5 = 21,45

Risposta

ŷ = 21,45

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1