Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 44, 16, 12, 38, 49, 13, 26.

n = 7

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 5. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 70?

μ = 60σ = 5x = 70

P =

3.ProbabilitàMedia

Per la distribuzione mostrata, trova la deviazione standard σ di X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,35, 0,1, 0,15, 0,2

σ =

4.ProbabilitàDifficile

X ha la distribuzione mostrata e Y = −2X + 20. Trova la deviazione standard σ_Y di Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,35, 0,15, 0,2, 0,05, 0,25Y = −2X + 20

σ_Y =

5.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,7620. Trova z con due decimali.

A = 0,7620

z =

6.Distribuzione normaleDifficile

I valori di i voti di un esame sono distribuiti normalmente con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Trascina la soglia in modo che il 40% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.

μ = 65 puntiσ = 10 punti40%

x = punti

7.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 21 elementi ha media 20,5 e deviazione standard s = 13,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 95 % per la media.

n = 21x̄ = 20,5s = 13,595%t(20) = 2,086

E =

8.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 32. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2?

σ = 32E = 295%

n =

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 49 studenti ha un punteggio medio di 48,97 e una deviazione standard campionaria di 8. Trova la statistica test t per H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 48,97s = 8n = 49

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 81 misure ha media 96,2. La deviazione standard della popolazione è 20. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.

x̄ = 96,2σ = 20n = 8190%

L =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 5Σx = 35Σy = 380Σx² = 285Σy² = 30134Σxy = 2882

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (9, 38). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 6(9, 38)

e =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 15,41

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 198/7 = 28,29

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 15,71² + (−12,29)² + (−16,29)² + 9,714² + 20,71² + (−15,29)² + (−2,286)² = 1425

Deviazione standard

s = √(1425/6) = 15,41

Risposta

s = 15,41

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,9772

Standardizza

z = 2

Tavola della normale standard

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Risposta

P = 0,9772

3.Probabilità

Risposta: σ = 1,435

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Media

μ = 1·0,2 + 2·0,35 + 3·0,1 + 4·0,15 + 5·0,2 = 2,8

Media dei quadrati

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,35 + 9·0,1 + 16·0,15 + 25·0,2 = 9,9

Varianza

Var(X) = 9,9 − 2,8² = 2,06

σ = √2,06 = 1,435

Risposta

σ = 1,435

4.Probabilità

Risposta: σ_Y = 3,169

Dispersione di X

μ = 2,7, Var(X) = 2,51, σ_X = 1,584

Trasformazione lineare

σ_Y = |−2|·1,584 = 3,169

Risposta

σ_Y = 3,169

La media invece si sposta: E(Y) = −2·2,7 + 20 = 14,6.

5.Distribuzione normale

Risposta: z = 1,18

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = (1 + 0,7620)/2 = 0,8810

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,8810 dentro la tabella e leggi z.

z = 1,18

Risposta

z = 1,18

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 67,5 punti

Area a sinistra

Φ(z) = 0,6

z dalla tabella

z ≈ 0,25

Di nuovo nelle unità originali

x = 65 + 0,25·10 = 67,5 punti

Risposta

x = 67,5 punti

7.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 6,145

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 20, t = 2,086

Margine di errore

E = 2,086·13,5/√21 = 6,145

Risposta

E = 6,145

8.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 984

Ricava n

n = (1,96·32/2)² = 983,4

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 984

Risposta

n = 984

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −0,9013

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143

Statistica test

t = (48,97 − 50)/1,143 = −0,9013

Risposta

t = −0,9013

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: L = 92,54

Margine di errore

E = 1,645·20/√81 = 3,656

Limite dell'intervallo

L = 96,2 − 3,656 = 92,54

Risposta

L = 92,54

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9912

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 2882 − 35·380/5 = 222

S_xx = 285 − 35²/5 = 40

S_yy = 30134 − 380²/5 = 1254

Coefficiente di correlazione

r = 222/√(40·1254) = 0,9912

Risposta

r = 0,9912

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = 5,281

Medie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 155/6 = 25,83

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 241

Retta di regressione

b = 241/70 = 3,443

a = 25,83 − 3,443·7 = 1,733

ŷ = 1,733 + 3,443·x

Valore previsto

ŷ = 1,733 + 3,443·9 = 32,72

Residuo

e = 38 − 32,72 = 5,281

Risposta

e = 5,281

Il punto si trova sopra la retta.

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